Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 4, resolvido

O que decide este item é o produto escalar escrito em coordenadas: num referencial o.n., se $\vec{u}=(u_1,u_2)$ e $\vec{v}=(v_1,v_2)$ , então $\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$ . Tens uma só incógnita — a abcissa de $D$ — e uma condição numérica sobre um produto escalar. O caminho é sempre o mesmo: pôr tudo em coordenadas, impor a condição, resolver a equação e escolher a raiz que o enunciado permite.

pôr os quatro pontos em coordenadas

O retângulo tem $O$ na origem, $A$ no semieixo positivo $Ox$ e $C$ no semieixo positivo $Oy$ . Os lados $[OA]$ e $[OC]$ estão, portanto, sobre os eixos.

De $\overline{OA}=15$ , com $A$ no semieixo positivo $Ox$ , vem $A(15,0)$ .

De $\overline{OC}=8$ , com $C$ no semieixo positivo $Oy$ , vem $C(0,8)$ .

$B$ é o vértice oposto a $O$ : num retângulo com dois lados sobre os eixos, $B$ tem a abcissa de $A$ e a ordenada de $C$ , logo $B(15,8)$ .

$D$ pertence a $[OA]$ , que está contido no eixo $Ox$ , por isso a ordenada de $D$ é zero. Chamando $d$ à abcissa, $D(d,0)$ , com $0<d<15$ .

Esta etapa é pontuada por si ($3$ pontos nos critérios): identificar $B(15,8)$ , $C(0,8)$ e $D(d,0)$ . Escreve-a mesmo que te pareça óbvia.

1.º — escrever os dois vetores em função de $d$

As coordenadas de um vetor entre dois pontos obtêm-se sempre como extremidade menos origem:

A ordem das letras manda. $\overrightarrow{DC}$ parte de $D$ e chega a $C$ , não o contrário. Se inverteres um dos dois vetores, trocas o sinal do produto escalar e a equação que sai já não é a do enunciado.

Cada um destes dois vetores vale $2$ pontos nos critérios — são duas etapas separadas.

2.º — impor a condição $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DB}=50$

É aqui que a condição do enunciado se transforma numa equação em $d$ :

Repara que o segundo termo é $8\times 8=64$ — é um produto das segundas coordenadas, não uma soma.

Igualando a $50$ :

Pela fórmula resolvente:

Logo $d=1$ ou $d=14$ .

qual das duas raízes é o ponto da figura

As duas raízes estão em $]0,15[$ , por isso as duas dão pontos de $[OA]$ , e as duas cumprem $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DB}=50$ . É precisamente por isso que o enunciado acrescenta $\overline{OD}<\overline{DA}$ : sem essa condição o problema teria duas soluções.

Como $\overline{OD}=d$ e $\overline{DA}=15-d$ :

Das duas raízes só $d=1$ satisfaz $d<7,5$ . Fica $D(1,0)$ — o ponto perto de $O$ , como a figura sugere.

confirma as duas raízes no produto escalar

Com $d=1$ : $\overrightarrow{DC}=(-1,8)$ e $\overrightarrow{DB}=(14,8)$ , e $(-1)\times 14+8\times 8=-14+64=50$ .

Com $d=14$ : $\overrightarrow{DC}=(-14,8)$ e $\overrightarrow{DB}=(1,8)$ , e $(-14)\times 1+8\times 8=-14+64=50$ .

As duas verificam — e essa é a prova de que a condição $\overline{OD}<\overline{DA}$ não é decoração: é ela que fixa a resposta.

o que se escreve como resposta

Pedem-se as coordenadas do ponto $D$ , não o valor de $d$ . A última etapa do critério é «obter o pedido $(1,0)$» , e vale $1$ ponto à parte de «reconhecer que $d=1$» . Termina com $D(1,0)$ .

onde se perdem pontos neste item

• Parar em $d=1\vee d=14$ e não usar $\overline{OD}<\overline{DA}$ : perdes as duas últimas etapas ($2$ pontos) e a resposta fica ambígua.
• Escolher $d=14$ por leitura apressada: quem decide é a condição escrita, não o desenho — mas nota que aqui as duas coincidem, porque na figura $D$ está mesmo junto de $O$ .
• Inverter um dos vetores ($\overrightarrow{CD}$ em vez de $\overrightarrow{DC}$ , ou $\overrightarrow{BD}$ em vez de $\overrightarrow{DB}$): o sinal do produto escalar muda e a equação passa a $-d^2+15d-64=50$ , que não tem soluções reais. Se te aparecer binómio discriminante negativo, volta atrás e verifica as origens dos vetores.
• Somar $8+8$ em vez de $8\times 8$ na segunda parcela do produto escalar.
• Esquecer que a ordenada de $D$ é $0$ e trabalhar com $D(d,y)$ : ficas com duas incógnitas e uma equação.
• Apresentar apenas o resultado final. Os critérios gerais do IAVE são explícitos: resposta só com o resultado, sem cálculos, é classificada com zero pontos.