Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 6.1, resolvido

Não precisas de determinar a reta $CD$ . O que te safa aqui é reparar que a reta $CD$ está na intersecção de dois planos que o enunciado te dá de graça: o plano da base, $x=3$ , e o plano $CDE$ , de equação $5y+2z-62=0$ . Um ponto da reta $CD$ tem de verificar as duas equações — e uma opção que falhe uma delas cai logo.

1.º — primeiro filtro: a base está no plano $x=3$

Os pontos $C$ e $D$ são vértices da base $[ABCD]$ , que «está contida no plano de equação $x=3$» . Como os dois pertencem a esse plano, toda a reta $CD$ está nele: qualquer ponto de $CD$ tem abcissa $3$ .

As opções C $(2,4,21)$ e D $(2,6,18)$ têm abcissa $2$ , logo estão fora do plano da base. Ficam eliminadas sem qualquer conta.

2.º — segundo filtro: os pontos $C$ e $D$ pertencem ao plano $CDE$

O plano $CDE$ contém, por definição, os pontos $C$ , $D$ e $E$ . Contendo $C$ e $D$ , contém a reta $CD$ inteira. Portanto qualquer ponto de $CD$ verifica $5y+2z-62=0$ .

Testa as duas opções que sobraram, substituindo $y$ e $z$ :

Opção A, $(3,4,21)$ :

Verifica. E como a abcissa é $3$ , o ponto está nos dois planos — está na reta $CD$ .

Opção B, $(3,6,18)$ :

Não verifica: o ponto está no plano da base, mas não no plano $CDE$ .

A resposta é a opção A.

confirma que a intersecção é mesmo uma reta

Os dois planos não são paralelos: o normal de $x=3$ é $(1,0,0)$ e o de $5y+2z-62=0$ é $(0,5,2)$ , e estes vetores não são colineares — aliás, são perpendiculares, porque $1\times 0+0\times 5+0\times 2=0$ . Dois planos não paralelos intersectam-se segundo uma reta, e essa reta é a $CD$ . Um ponto que verifique as duas equações está nessa reta, sem mais nada a provar.

de onde vem cada opção errada

• B $(3,6,18)$ — tem a abcissa certa (está no plano da base) mas dá $5y+2z=66$ em vez de $62$ . É o distrator para quem só testa a primeira condição e escolhe a primeira opção com $x=3$ que aparece, ou para quem se engana na conta e faz $5\times 6+2\times 18=30+32$ .
• C $(2,4,21)$ — tem os valores de $y$ e $z$ da opção correta, e por isso verifica $5y+2z-62=0$ , mas a abcissa é $2$ . Apanha quem testa só a equação do plano $CDE$ e esquece que a reta $CD$ está na base, no plano $x=3$ . É o distrator mais perigoso do item.
• D $(2,6,18)$ — falha as duas condições: abcissa $2$ e $5y+2z=66$ . Só se escolhe por engano de leitura.

onde se perde a cotação neste item

• Tentar determinar $C$ e $D$ explicitamente. Dá para fazer, mas é longo e desnecessário — e num item de escolha múltipla, dicotómico, o tempo perdido custa noutros itens.
• Testar só uma das duas condições. São precisas as duas; a opção C existe exactamente para castigar quem testa só o plano $CDE$ , e a B para quem testa só $x=3$ .
• Confundir o plano da base com o plano $CDE$. A base $[ABCD]$ está em $x=3$ ; o plano $CDE$ é um plano lateral, que contém a aresta $[CD]$ e o vértice $E$ da outra base.
• Não responder. A classificação é dicotómica: $12$ pontos ou $0$ . Depois dos dois filtros ficas com uma só opção, por isso vale sempre a pena.
• Os itens de escolha múltipla do IAVE não penalizam o erro; deixar em branco é o único modo garantido de não ter os $12$ pontos.