Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 8.1, resolvido

O que governa este item são as leis de De Morgan e a regra do acontecimento contrário. O enunciado dá-te uma probabilidade de uma união de contrários e pede-te um número de alunos: o caminho é converter essa união numa intersecção, para poderes usar os dois números concretos que o contentor te deu ($25$ alunos do 12.º ano, dos quais $10$ frequentam Matemática A).

nomear os acontecimentos e a incógnita

Seja $n$ o número de alunos presentes na assembleia — é o que te pedem. Define

Nomear os acontecimentos antes de escrever probabilidades é o que te impede de te perder nas barras de contrário mais à frente.

1.º — escrever a hipótese em linguagem de probabilidades

«Não ser do 12.º ano ou não frequentar Matemática A» é a união dos dois contrários. Logo

Esta tradução vale 3 pontos por si só — é a etapa mais cotada do item.

2.º — De Morgan: passar da união à intersecção

A união dos contrários é o contrário da intersecção:

Porquê é que isto resolve o obstáculo: a união dos contrários não se liga a nenhum dos números do enunciado; a intersecção $A\cap B$ — «é do 12.º ano e frequenta Matemática A» — é exactamente o grupo dos $10$ alunos que o contentor te deu. É esta passagem que torna o problema contável.

3.º — o acontecimento contrário

Substituindo:

4.º — a mesma probabilidade contada pela regra de Laplace

Como o aluno é escolhido ao acaso entre os $n$ presentes, todos os casos são equiprováveis. Os casos favoráveis a $A\cap B$ são os $10$ alunos do 12.º ano que frequentam Matemática A, e os casos possíveis são $n$:

Esta é a segunda etapa de 3 pontos. É aqui que a incógnita entra na conta — sem ela ficas com uma fracção sem ligação ao número pedido.

5.º — resolver em ordem a $n$

Estão presentes na assembleia $55$ alunos.

pelo 2.º processo do critério, com probabilidade condicionada

O critério admite um segundo caminho, que parte da informação «dos $25$ do 12.º ano, $10$ frequentam Matemática A» lida como condicionada:

Com $P\left(\overline{A}\cup \overline{B}\right)=\frac{9}{11}$ chegas, pelos mesmos dois passos de De Morgan e do contrário, a $P(A\cap B)=\frac{2}{11}$. Como $P(B)=\frac{25}{n}$ e $P(A\cap B)=P(A\mid B)\times P(B)$, escreves

Dá o mesmo valor, e o critério pontua os dois por igual. O 1.º processo é mais curto — usa-o se não tiveres razão para preferir o outro.

conferir com os números do enunciado

Com $n=55$: $P(A\cap B)=\frac{10}{55}=\frac{2}{11}$, logo $P\left(\overline{A\cap B}\right)=1-\frac{2}{11}=\frac{9}{11}$, que é exactamente a probabilidade dada. E $55>25$, como tem de ser — na assembleia há alunos de vários anos, portanto o total tem de ser maior do que os $25$ do 12.º ano.

onde é que este item se perde

– Trocar a lei de De Morgan: escrever $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cup B}$ em vez de $\overline{A\cap B}$. A união dos contrários é o contrário da intersecção — a barra troca o sinal da operação.

– Ler «ou» como intersecção: o «ou» do enunciado é união, e é inclusivo.

– Esquecer o acontecimento contrário e usar directamente $P(A\cap B)=\frac{9}{11}$: ficas com $n$ menor do que $25$, o que é impossível.

– Pôr $25$ no numerador de $P(A\cap B)$: os $25$ são só do 12.º ano; quem está em $A\cap B$ são os $10$ que também frequentam Matemática A.

– Dividir por $25$ em vez de por $n$: $\frac{10}{25}$ é $P(A\mid B)$, não $P(A\cap B)$ — o universo de $P(A\cap B)$ é a assembleia inteira.

– Não responder ao que foi pedido: o item pede o número de alunos, não uma probabilidade. A resposta final é $55$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando o enunciado te der a probabilidade de uma frase com «não … ou não …», aplica De Morgan de imediato: transforma-a no contrário de uma intersecção, e essa intersecção costuma ser precisamente o grupo que o enunciado já contou.