Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 13, resolvido

Este item não tem uma única expressão concreta: $f$ é uma função qualquer com quatro propriedades dadas. Isso assusta, mas é bom sinal — quer dizer que a resposta sai só da manipulação simbólica e do sinal de cada parcela, e não há contas para errar.

O que governa o item é a definição: o sentido da concavidade do gráfico de $g$ lê-se no sinal de $g^{\prime \prime }$ . Concavidade voltada para cima onde $g^{\prime \prime }>0$ , voltada para baixo onde $g^{\prime \prime }<0$ . Portanto o plano é um só: calcular $g^{\prime \prime }$ e estudar-lhe o sinal.

arrumar as quatro hipóteses, porque vais usá-las todas

O enunciado dá quatro coisas sobre $f$ , e nenhuma está lá a mais. Traduz cada uma para uma desigualdade antes de começar:

A quarta é a que te autoriza a escrever $g^{\prime \prime }$ sem restrições de domínio; as outras três vão ser exactamente os três sinais de que precisas no fim.

1.º — a primeira derivada de $g$

$g$ é o quadrado de $f$ . Pela regra de derivação da potência, ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$ , que está no formulário da prova, com $u=f$ e $n=2$ :

Vale $2$ pontos. Não esqueças o factor $f^{\prime }(x)$ : é a derivada da função de dentro, e omiti-la é derivar como se $f(x)$ fosse a variável.

2.º — a segunda derivada de $g$

Agora derivas um produto, $2f(x)\times f^{\prime }(x)$ , pela regra $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ , com $u=f$ e $v=f^{\prime }$ (nota que $v^{\prime }=f^{\prime \prime }$):

Vale mais $2$ pontos. Fica com esta expressão à vista, porque é dela que sai tudo o resto: uma soma de duas parcelas, cada uma com o seu sinal.

3.º — o sinal de cada parcela, uma de cada vez

É aqui que estão $8$ dos $14$ pontos do item, e o critério reparte-os por cinco justificações. Fá-las separadamente e por escrito, cada uma com a hipótese de onde vem.

Primeira parcela, $2{\left[f^{\prime }(x)\right]}^2$ . Um quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero — e só é zero quando o número é zero. Como o enunciado garante que $f^{\prime }$ não se anula, $f^{\prime }(x)\ne 0$ para todo o $x$ , logo

Esta desigualdade é estrita, e é a única do item que o é. Guarda isso: é ela que vai levantar a soma acima de zero.

Segunda parcela, $2f^{\prime \prime }(x)\times f(x)$ . São dois factores:

• $f(x)>0$ , porque a função $f$ é positiva (hipótese do enunciado);
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ , porque o gráfico de $f$ tem a concavidade voltada para cima — e concavidade voltada para cima é, por definição, segunda derivada não negativa.

Produto de um número positivo por um número não negativo é não negativo:

Aqui a desigualdade não é estrita, e não podes fingir que é: nada no enunciado impede $f^{\prime \prime }$ de se anular nalgum ponto. Escrever $f^{\prime \prime }(x)>0$ é afirmar mais do que te foi dado.

4.º — somar os dois sinais

Somar um número positivo com um número não negativo dá um número positivo — a parcela que pode ser nula no máximo não ajuda, mas também nunca estraga:

Repara na elegância da construção do enunciado: a hipótese «a primeira derivada não se anula» parece deslocada num item sobre concavidades, mas é ela — e só ela — que garante a desigualdade estrita. Sem ela, só poderias concluir $g^{\prime \prime }(x)\ge 0$ , e a resposta ficaria incompleta.

a conclusão tem de ser dita, e nos termos do enunciado

Os últimos $2$ pontos pagam a frase final. O item pergunta pelo sentido das concavidades do gráfico de $g$ , portanto a resposta é sobre o gráfico, não sobre a derivada:

O gráfico da função $g$ tem a concavidade voltada para cima em todo o seu domínio, $\mathbb{R}$ , e não tem pontos de inflexão.

A nota sobre os pontos de inflexão não é obrigatória, mas fecha a pergunta: como $g^{\prime \prime }$ nunca muda de sinal, não há onde a concavidade se inverta.

onde é que este item come pontos

• Esquecer a regra da função composta na primeira derivada. Escrever $g^{\prime }(x)=2f(x)$ em vez de $2f(x)\times f^{\prime }(x)$ deita todo o item a perder, porque a segunda derivada sai errada atrás.
• Derivar mal o produto. ${\left[2f(x)f^{\prime }(x)\right]}^{\prime }$ tem duas parcelas; ficar só com $2f(x)f^{\prime \prime }(x)$ elimina precisamente aquela que garante a desigualdade estrita.
• Escrever $f^{\prime \prime }(x)>0$ . Concavidade voltada para cima dá $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ . A justificação desta desigualdade vale $3$ pontos sozinha, e afirmar mais do que se sabe é erro, não é rigor a mais.
• Não usar a hipótese de $f^{\prime }$ não se anular. É a hipótese que quase todos ignoram. Sem ela só chegas a $g^{\prime \prime }(x)\ge 0$ , e a conclusão sobre o sentido da concavidade fica por justificar.
• Esquecer que $f$ é positiva. Sem $f(x)>0$ , o produto $f^{\prime \prime }(x)\times f(x)$ podia ser negativo e a soma deixava de ter sinal garantido. Vale $1$ ponto dizê-lo explicitamente.
• Juntar tudo numa frase só. O critério paga cinco justificações separadas dentro dos $8$ pontos. Escreve-as em cinco linhas, uma por sinal, cada uma com a hipótese que a sustenta.
• Concluir sobre $g^{\prime \prime }$ e parar. «$g^{\prime \prime }(x)>0$» não é resposta à pergunta feita; falta traduzir para o sentido da concavidade do gráfico de $g$ .
• Tentar arranjar um exemplo concreto de $f$ . É tentador escolher $f(x)=e^x$ para ver o que acontece, e até serve para ganhares confiança — mas um exemplo não demonstra o caso geral, e a resposta tem de ser feita com as hipóteses, em abstracto.

um caso concreto, só para veres que faz sentido

Fora da folha, testa com $f(x)=e^x$ : é positiva, tem concavidade voltada para cima ($f^{\prime \prime }=e^x>0$) e $f^{\prime }=e^x$ nunca se anula — cumpre as quatro hipóteses. Então $g(x)=e^{2x}$ e $g^{\prime \prime }(x)=4e^{2x}>0$ . Bate.

Testa também com $f(x)=x^2+1$ : é positiva e tem concavidade voltada para cima, mas $f^{\prime }(x)=2x$ anula-se em $x=0$ — não cumpre a terceira hipótese. E de facto $g(x)={\left(x^2+1\right)}^2$ tem $g^{\prime \prime }(0)=4>0$ , continua a dar certo, mas já não é a hipótese que o garante. Este segundo teste mostra-te para que serve cada condição, e é assim que se aprende a não ignorar nenhuma.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um item define $g$ à custa de uma $f$ abstracta e pede concavidades, monotonia ou extremos, o caminho é invariável: derivar simbolicamente até à ordem de que precisas, e depois atribuir um sinal a cada parcela usando as hipóteses do enunciado, uma a uma. Nunca há contas numéricas; há um inventário de sinais.

E trata as hipóteses como uma lista de verificação: se acabaste a resposta e sobrou alguma por usar, é quase sempre porque te escapou um passo. Neste item, a hipótese esquecida — «a primeira derivada não se anula» — era exactamente a que distinguia $g^{\prime \prime }>0$ de $g^{\prime \prime }\ge 0$ .