Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 3.1, resolvido

Monotonia e extremos lêem-se sempre no sinal da derivada. O plano é fixo e tem quatro passos: derivar, igualar a zero, estudar o sinal num quadro, traduzir o quadro em palavras. Antes de tudo isso, guarda uma coisa do domínio: em $\left]-\infty ,1\right[$ tem-se $x<1$, logo

Este facto vai decidir o sinal de um denominador mais à frente — e é a razão por que este item não precisa de casos.

simplificar o logaritmo antes de derivar

No domínio, $1-x>0$, e por isso podes usar a regra do logaritmo de uma potência:

Não é obrigatório, mas tira-te a regra da cadeia de cima de um cubo e evita metade dos erros de sinal.

1.º — derivar — etapa obrigatória, 3 pontos

Com a forma simplificada, e usando $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ com $u=1-x$, $u^{\prime }=-1$:

Se preferires derivar sem simplificar, com $u=(1-x{)}^3$ e $u^{\prime }=3(1-x{)}^2\times (-1)$:

Dá o mesmo, como tinha de dar. Guarda o $-$ do $(1-x{)}^{\prime }=-1$: é aí que se perde o sinal.

2.º — igualar a zero e encontrar o candidato a extremo

Como $1-x\ne 0$ em todo o domínio, podes multiplicar em cruz sem perder soluções:

E $-\frac{1}{2}\in \left]-\infty ,1\right[$, portanto é mesmo um ponto do domínio.

3.º — estudar o sinal — a etapa mais cotada, 5 pontos

Para ler o sinal de uma só vez, junta a expressão numa fração:

Agora o sinal sai de um raciocínio curto:

• denominador: $1-x>0$ em todo o domínio (foi o que guardaste no início), logo o denominador nunca muda de sinal;
• numerador: $-2x-1>0⟺x<-\frac{1}{2}$.

Portanto o sinal de $f^{\prime }$ é o sinal do numerador: positivo à esquerda de $-\frac{1}{2}$ e negativo à direita, dentro do domínio.

O quadro é uma etapa por si — desenha-o, mesmo que já saibas a resposta.

4.º — traduzir o quadro em palavras — é isto que é pedido

A função $f$ é:

• crescente em $\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$;
• decrescente em $\left[-\frac{1}{2},1\right[$;
• tem um máximo relativo em $x=-\frac{1}{2}$ (passa de crescente a decrescente).

responder exactamente ao que se pede

O enunciado pede os intervalos de monotonia e o valor de $x$ onde há extremo — não pede o valor do extremo. Se quiseres escrevê-lo, é $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1+3+3\ln \frac{3}{2}=2+3\ln \frac{3}{2}$, mas isso não substitui o $x=-\frac{1}{2}$, que é o que vale o ponto.

Quanto aos extremos dos intervalos: a nota 2 dos critérios diz que tanto $\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ como $\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right[$ são aceites, e o mesmo para o segundo intervalo. O que não é opcional é o $1$ ficar de fora — $1$ não pertence ao domínio.

onde se perdem pontos

• Perder o sinal ao derivar o logaritmo. Quem escreve $f^{\prime }(x)=2+\frac{3}{1-x}$ obtém uma derivada sempre positiva, conclui «crescente em todo o domínio» e perde tudo o que vem depois. A nota 1 dos critérios só garante 1 ponto dos 3 a quem mostre a intenção de derivar.
• Não justificar o sinal do denominador. É tentador fazer o quadro com $1-x$ a mudar de sinal em $x=1$ — mas $1$ não é ponto do domínio. Diz por escrito que $1-x>0$ em $\left]-\infty ,1\right[$.
• Escrever os intervalos até $+\infty$. $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right[$ está errado: o domínio acaba em $1$. É o erro que mais se vê neste item.
• Saltar o quadro de sinal. Vale 5 dos 14 pontos, mais do que a derivada. Sem ele, escrever só a conclusão custa-te mais de um terço da cotação.
• Dizer «máximo $=2+3\ln \frac{3}{2}$» sem dizer onde. O ponto final é pelo valor de $x$.

para reconhecer o próximo item deste tipo

«Estude quanto à monotonia e aos extremos» é sempre o mesmo guião: $f^{\prime }\to f^{\prime }=0\to$ quadro de sinal $\to$ conclusão, e os intervalos vivem dentro do domínio. Quando o domínio é limitado por uma restrição do logaritmo (aqui, $1-x>0$), essa restrição costuma resolver-te o sinal de um factor inteiro — identifica-a antes de começar as contas e poupas um caso.