Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 5, resolvido

Como este item é classificado. Não há crédito espaço a espaço: os $12$ pontos são atribuídos por níveis de desempenho, contando quantos dos quatro espaços ficam certos — $12$ pontos com os $4$ certos, $8$ pontos com $3$ e $4$ pontos com $2$ . Com um só espaço certo tens zero. Consequência prática: cada espaço que acertas a mais faz-te subir de escalão, e deixar um em branco nunca te protege de nada — responde sempre aos quatro.

A calculadora é permitida aqui, e é ela que faz o trabalho todo: metes os sete pares em duas listas uma vez e as quatro respostas saem do mesmo menu de estatística.

os sete pares nas listas da calculadora

Lê os pontos do diagrama e insere as distâncias na lista $L_1$ e as energias na lista $L_2$ , pela mesma ordem, sem desemparelhar linhas:

São sete treinos. Contá-los mal é o erro que estraga os espaços I e IV de uma assentada; conta os pontos do diagrama duas vezes antes de avançar. Se desalinhares um par, I e II ainda saem certos (dependem de cada coluna isoladamente) mas III e IV saem errados, porque esses medem a relação entre as duas colunas.

I — a média das distâncias

Média é soma a dividir pelo número de dados, e o número de dados é $7$ :

Arredondado às décimas, $\bar{x}\approx 7,5$ . Opção a).

Guarda o valor não arredondado ($7,457\dots$) na calculadora — vais precisar dele no espaço IV, e usar lá o $7,5$ dá outra resposta.

II — a mediana das quilocalorias

Mediana não é média: é o valor do meio com os dados ordenados. As energias já vêm ordenadas no diagrama, porque a nuvem é crescente:

Como são $7$ dados (número ímpar), a mediana é o $4{.}^{\text{o}}$ valor: $\tilde{y}=515$ . Opção b).

Não te deixes levar pela média das energias, que é $\frac{3543}{7}\approx 506,1$ — está lá de propósito como opção a).

III — o sinal e a força da correlação

O sinal lê-se no diagrama sem conta nenhuma: quando $x$ cresce, $y$ cresce sempre. Logo a correlação é positiva — e a opção «negativa forte» cai já aqui.

A força mede-se pelo coeficiente de correlação linear $r$ , que a calculadora dá no mesmo menu da regressão. Com estes dados, $r\approx 0,998$ , muito próximo de $1$ .

Mesmo sem o calcular, os sete pontos estão quase sobre uma reta, o que é a definição visual de correlação forte. Correlação positiva fraca corresponderia a uma nuvem dispersa, com tendência crescente mal definida. Opção c).

IV — a estimativa dada pela reta de regressão

Pede-se o valor que o modelo prevê para $x=6$ , e $6$ não é nenhum dos treinos registados — não podes ler nada do diagrama, tens de usar a reta.

Na calculadora, com $L_1$ e $L_2$ , pede a regressão linear $y=a+bx$ . Sai:

O enunciado manda usar as estimativas arredondadas às milésimas, que é exactamente o que está acima. Substituindo:

Arredondado às unidades: $411$ quilocalorias. Opção b).

Repara no significado de cada parâmetro: $b\approx 65,6$ é o gasto por quilómetro adicional e $a\approx 17,3$ é a ordenada na origem do modelo. Um gasto de $65$ a $66$ kcal por quilómetro é plausível, o que te dá confiança de que não trocaste as listas.

a estimativa tem de cair entre os vizinhos

$x=6$ está entre $5$ (com $340$ kcal) e $6,5$ (com $450$ kcal), por isso a estimativa tem de ficar entre esses dois valores, e mais perto de $450$ . $411$ cumpre. Se te tivesse saído $169$ ou $1690$ , trocaste $a$ com $b$ ou as listas.

de onde vem cada opção errada

• I b) $7,7$ — é a mediana das distâncias (o $4{.}^{\text{o}}$ dos sete valores ordenados), não a média. Apanha quem troca as duas medidas de localização.
• I c) $9,4$ — é o máximo das distâncias, o ponto mais à direita do diagrama.
• II a) $506$ — é a média das energias, $\frac{3543}{7}\approx 506,1$ . É o mesmo engano de I b), ao contrário.
• II c) $630$ — é o máximo das energias, o ponto mais alto do diagrama.
• III a) negativa forte — sinal trocado; só sairia se lesses a nuvem como decrescente.
• III b) positiva fraca — sinal certo, força errada; é a opção de quem não olha para o alinhamento dos pontos.
• IV a) $408$ — é o que sai se usares no cálculo da ordenada na origem a média já arredondada $\bar{x}=7,5$ do espaço I em vez de $7,457\dots$ : fica $a=506,143-65,558\times 7,5\approx 14,458$ e $14,458+393,348\approx 407,8\approx 408$ . É o castigo por arredondar a meio.
• IV c) $415$ — está na mesma ordem de grandeza e só se separa de $411$ se levares os parâmetros com as três casas decimais até ao fim; é o distrator que apanha quem arredonda $a$ e $b$ antes do que devia.

onde se perdem pontos neste item

• Arredondar a meio do cálculo. O enunciado manda arredondar os parâmetros às milésimas e só o resultado às unidades. Qualquer arredondamento antes disso muda a resposta — foi assim que nasceu o distrator $408$ .
• Contar mal os treinos. São sete pontos no diagrama; com seis ou oito a média e a regressão saem ambas erradas.
• Confundir média com mediana nos espaços I e II — as opções estão montadas exactamente para isso.
• Ler a estimativa no diagrama. Não há ponto com $x=6$ ; o valor pedido vem do modelo, não dos dados.
• Trocar $a$ com $b$ no ecrã da calculadora. Confirma sempre qual é o declive: tem de ser o número grande, na ordem das dezenas de quilocalorias por quilómetro.
• Deixar espaços em branco. Como a classificação é por níveis e não há penalização por erro, um palpite fundamentado só te pode fazer subir de escalão.