Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 5, resolvido

como este item é pontuado

Os $12$ pontos não se repartem pelos quatro espaços: atribuem-se por níveis de desempenho, contando quantas opções ficam certas — $12$ pontos com as $4$ certas, $8$ pontos com $3$, $4$ pontos com $2$, e nada com $1$ ou nenhuma.

Daqui sai uma consequência prática: acertar em dois é o mínimo que paga alguma coisa, e cada espaço extra vale $4$ pontos. Nunca deixes um espaço em branco — mesmo um palpite informado entre três opções tem valor esperado positivo.

pôr os dados na calculadora antes de responder

Este item permite calculadora e é praticamente todo feito nela. Introduz as duas listas de uma só vez:

• Lista 1 ($x$, PIB): $35,48$ ; $21,31$ ; $23,45$ ; $50,01$ ; $70,53$ ; $84,49$ ; $41,86$ ; $18,06$ ; $9,61$
• Lista 2 ($y$, GEE): $9,1$ ; $7,6$ ; $6,1$ ; $7,5$ ; $12,3$ ; $14,7$ ; $9,6$ ; $5,5$ ; $6,0$

A ordem das linhas tem de ser a mesma nas duas listas — é o que emparelha cada país com o seu par $(x,y)$. Trocar uma linha estraga as alíneas (c) e (d) sem estragar a (a) nem a (b), o que torna o erro difícil de apanhar.

(a) — que percentagem do Luxemburgo é a Roménia

«O PIB da Roménia foi aproximadamente $\square$ do PIB do Luxemburgo» — a palavra «do» diz qual é o todo: o Luxemburgo está no denominador.

Arredondado às unidades: $11\%$ . Opção (2).

Confirma o sentido com uma conta de cabeça: $10\%$ de $84,49$ é cerca de $8,4$ , e $9,61$ é um pouco mais — logo a resposta anda pouco acima de $10\%$ .

(b) — quantos países no intervalo $\left]\overline{x}-s,\overline{x}+s\right[$

Pede-se a média e o desvio padrão amostral dos nove valores de $x$ . Na calculadora, nas estatísticas de uma variável, é o valor que aparece como $s_x$ (ou ${\sigma }_{n-1}$), não o ${\sigma }_x$ populacional.

Agora percorre a coluna do PIB e marca os que caem dentro:

São $6$ países. Opção (1). Ficam de fora os dois mais ricos e o mais pobre — o que faz todo o sentido, porque o intervalo cobre o «miolo» da distribuição.

(c) — o sinal e a força da correlação

O sinal lê-se sem calculadora: os países com maior PIB (Luxemburgo $84,49$ , Irlanda $70,53$) são também os que mais emitem ($14,7$ e $12,3$), e o mais pobre da lista está entre os que menos emitem. As duas variáveis crescem juntas, logo a correlação é positiva — o que elimina já a opção (1).

Falta a força. O coeficiente de correlação dado pela calculadora é

Um $|r|$ tão próximo de $1$ significa que os pontos do diagrama de dispersão se aproximam muito de uma reta: a correlação é positiva forte. Opção (3).

(d) — estimar o GEE de França pela reta de regressão

Pede-se o modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ , ou seja, a reta $y=ax+b$ que a calculadora devolve com os dados já introduzidos:

(o enunciado manda arredondar os parâmetros às milésimas — faz esse arredondamento antes de substituir, é isso que o texto pede).

Substituindo $x=32,53$ :

Arredondado às décimas: $7,9$ . Opção (1).

Confirma pelo bom senso: $32,53$ está entre o PIB de Espanha ($23,45$ , com $6,1$) e o da Alemanha ($35,48$ , com $9,1$), por isso uma estimativa entre $6$ e $9$ é o esperado — $11,6$ seria alto demais.

como se escreve a resposta

Na folha de respostas escreve-se apenas a letra seguida do número da opção: (a) $\to$ (2) ; (b) $\to$ (1) ; (c) $\to$ (3) ; (d) $\to$ (1) . Não se escreve o texto da opção nem se justificam as contas — este item não tem etapas de raciocínio a pontuar.

de onde vem cada opção errada

(a) $9\%$ sai de inverter a razão e arredondar mal, ou de usar $\frac{9,61}{100}$ e confundir o valor da Roménia com a percentagem; $13\%$ sai de dividir pelo PIB de um país errado (por exemplo, $\frac{9,61}{70,53}\approx 13,6\%$ , com a Irlanda no lugar do Luxemburgo).

(b) $7$ é o resultado de usar o desvio padrão populacional ($\sigma \approx 23,7$), que dá o intervalo $\left]15,7;63,1\right[$ — e alguém que arredonde por excesso acaba por incluir mais um país; $8$ sai de trocar o intervalo por $\left]\overline{x}-2s,\overline{x}+2s\right[$ , que já apanha quase toda a distribuição.

(c) «negativa forte» é a leitura invertida do diagrama de dispersão (ou o sinal de $r$ trocado por ter posto o PIB na lista dos $y$ e o GEE na dos $x$ — o que, aliás, não muda o sinal, só o confirma como erro de leitura); «positiva fraca» sai de olhar apenas para a Roménia, que é o único país claramente fora do alinhamento, e concluir daí que a associação é frouxa.

(d) $8,3$ é o que se obtém sem arredondar os parâmetros e usando um modelo ligeiramente diferente, ou substituindo $x$ pelo PIB de outro país; $11,6$ é o resultado de trocar os papéis de $x$ e $y$ na regressão — isto é, ajustar $x$ em função de $y$ e depois usar $32,53$ como se fosse GEE.

onde se perdem pontos neste item

• Usar $\sigma$ (populacional) em vez de $s$ (amostral) na alínea (b): o enunciado diz explicitamente «desvio padrão amostral».
• Introduzir as listas desemparelhadas, estragando (c) e (d) de uma só vez.
• Não arredondar os parâmetros às milésimas em (d) antes de substituir, contra a instrução expressa do texto.
• Trocar $x$ com $y$ na regressão: a reta de $y$ em função de $x$ e a de $x$ em função de $y$ são retas diferentes.
• Incluir os extremos do intervalo em (b): o intervalo é aberto nas duas pontas, $\left]\overline{x}-s,\overline{x}+s\right[$ — aqui não altera a contagem, mas noutro item altera.
• Deixar espaços em branco: com $2$ certas já se ganham $4$ pontos, e um espaço não preenchido nunca pode acertar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Este é o item de estatística com calculadora que aparece quase todos os anos. O guião é sempre o mesmo: duas listas emparelhadas, depois lê na calculadora $\overline{x}$ , $s$ (o amostral, $n-1$), $r$ e os parâmetros $a$ e $b$ da regressão. Três leituras que nunca falham: «do» indica o denominador numa percentagem; $|r|$ acima de $0,9$ é correlação forte; e uma estimativa pela reta deve cair entre os valores dos pontos vizinhos — se não cair, trocaste $x$ com $y$ .