Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 4.2, resolvido

1.º — o ponto de partida: descobrir em que ramo cai $x-2$

A função está definida por ramos e o que entra em $f$ não é $x$, é $x-2$. Antes de qualquer conta, traduz a restrição do enunciado:

Como o segundo ramo vale para $x\ge -2$ , todo o intervalo pedido cai no segundo ramo. Isto é o que torna o item resolúvel à mão: não há caso a separar.

2.º — substituir e simplificar os expoentes

Escreve o segundo ramo com $x-2$ no lugar de $x$, com cuidado nos parênteses do expoente negativo:

$(x-2)+2=x$ e $-(x-2)-2=-x+2-2=-x$ . Logo

Esta simplificação é a etapa que o critério paga com $2$ pontos. Se te enganares no sinal do segundo expoente ficas com $3e^{-x+4}$ e a equação deixa de ser resolúvel sem calculadora — é o primeiro sinal de que erraste.

3.º — porque é que multiplicar por $e^x$ é o movimento certo

A equação $2e^x+3e^{-x}=7$ tem duas exponenciais inversas uma da outra: $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ . Enquanto lá estiver o expoente negativo não consegues tratar a equação como polinomial.

Multiplicar tudo por $e^x$ limpa o denominador — e podes fazê-lo sem criar nem perder soluções, porque $e^x>0$ para todo o $x$, logo nunca é zero (diz isso, é a justificação da equivalência):

Esta é a etapa mais bem paga do item: $4$ pontos. Repara que $e^x\times e^x={\left(e^x\right)}^2$ — e não $e^{x^2}$ .

4.º — a substituição de variável, e a fórmula resolvente

Com $y=e^x$ , a equação é do 2.º grau em $y$ :

Desfazendo a substituição: $e^x=3\vee e^x=\frac{1}{2}$ ($3$ pontos).

5.º — passar de exponencial a logaritmo

$e^x=k$ com $k>0$ tem exactamente uma solução, $x=\ln k$ — é a definição de logaritmo natural. Como $3>0$ e $\frac{1}{2}>0$ , ambos os valores dão solução:

Vale $4$ pontos. Não descartes nenhuma raiz aqui — o descarte faz-se no passo seguinte, e por outra razão.

6.º — aplicar a restrição do domínio pedido

O enunciado não pede todas as soluções em $\mathbb{R}$ : pede as que estão em $[0,+\infty [$ .

• $\ln 3>0$ porque $3>1$ — pertence ao intervalo, fica;
• $\ln \left(\frac{1}{2}\right)<0$ porque $\frac{1}{2}<1$ — não pertence, sai.

Justifica a rejeição com esta comparação a $1$ (e não com um valor decimal, que precisaria de calculadora — que aqui está proibida). Podes ainda escrever $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2$ , que torna o sinal negativo imediato.

como se escreve a resposta

A solução é exacta: $x=\ln 3$ . Não escrevas $1,1$ nem $1,0986$ — o item é sem calculadora e a forma pedida é a forma exacta. Se quiseres, apresenta o conjunto-solução: $S=\{\ln 3\}$ . A conclusão explícita vale $1$ ponto.

confirmar sem calculadora

Substitui $x=\ln 3$ na equação simplificada: $e^{\ln 3}=3$ e $e^{-\ln 3}=\frac{1}{3}$ , logo

Vale a pena fazer esta linha na prova: custa dez segundos e apanha erros de sinal.

onde se perdem pontos neste item

• Não verificar em que ramo cai $x-2$ e usar o primeiro ramo: com $x\ge 0$ o primeiro ramo nunca é usado.
• Errar o expoente $-(x-2)-2$ , esquecendo os parênteses e obtendo $-x-4$ ou $-x+4$ .
• Escrever $e^x\times e^x=e^{x^2}$ em vez de ${\left(e^x\right)}^2$ .
• Multiplicar por $e^x$ sem justificar que $e^x\ne 0$ , o que deixa a equivalência por provar.
• Rejeitar $y=\frac{1}{2}$ logo na resolvente, com o argumento de que «é pequeno»: $\frac{1}{2}$ é positivo e dá mesmo uma solução real; o que a elimina é o intervalo pedido, não o sinal de $y$.
• Esquecer a restrição $[0,+\infty [$ e apresentar as duas soluções: perde-se a etapa final.
• Dar o resultado em dízima, quando o item é sem calculadora.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que uma equação tiver $e^x$ e $e^{-x}$ (ou $2^x$ e $2^{-x}$, ou $a^x$ e $\frac{1}{a^x}$), o guião é: multiplicar pela exponencial positiva para limpar o denominador, substituir $y=e^x$ , resolver o 2.º grau, voltar a $x$ com logaritmos e só no fim cruzar com o domínio pedido. E quando o enunciado escreve $f(\text{alguma coisa})$ numa função por ramos, a primeira pergunta é sempre: em que ramo cai essa «alguma coisa»?