Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 9, resolvido

Este item é de resolução gráfica com calculadora, e o enunciado diz-te exactamente o que tens de pôr na folha: uma equação, o gráfico num referencial e o ponto assinalado. A equação mistura uma exponencial com um termo linear, por isso não há processo algébrico para a resolver — a máquina não é um atalho, é o método.

1.º — perceber o que a função $y$ mede

A função $y$ dá a distância da sonda ao solo, e não a distância já percorrida. São grandezas complementares, e é aqui que este item se ganha ou se perde.

No instante da largada a sonda está o mais alto que alguma vez estará; quando chega ao solo, $y=0$. Logo o comprimento total da trajetória de queda é a altura de partida:

A trajetória mede $3000$ metros. Esta etapa vale 2 pontos por si, mesmo que o resto corra mal — escreve-a sempre.

2.º — traduzir «percorreu $\frac{2}{3}$» numa distância ao solo

Se a sonda já percorreu $\frac{2}{3}$ do caminho, falta-lhe $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. E o que lhe falta é precisamente a distância ao solo nesse instante, que é o que $y$ mede.

A equação a resolver é, portanto,

⚠️ O erro que este item convida a cometer é escrever $y(t)=\frac{2}{3}y(0)$, ou seja $y(t)=2000$. Essa equação responde a outra pergunta — «quando é que a sonda já caiu $\frac{1}{3}$ do percurso?» — e dá $t\approx 17,7$ s. Lê sempre em voz alta o que a função mede: o que ela dá é o que falta.

3.º — o gráfico na calculadora, com o domínio respeitado

Introduzo duas funções e procuro a intersecção:

A janela não é decoração: os critérios tiram 1 ponto se não houver referencial e outro ponto se o domínio não for respeitado.

O domínio útil começa em $t=0$ (a largada) e acaba no instante em que a sonda chega ao solo, isto é, onde $y(t)=0$ — isso acontece perto de $t\approx 59,3$. Uma janela $[0;60]\times [0;3200]$ mostra a queda inteira, sem tempos negativos nem alturas negativas, que aqui não têm significado físico.

Assinalo o ponto de intersecção dos dois gráficos e leio a sua abcissa.

o arredondamento pedido

A calculadora dá $t\approx 41,4245\dots$ O enunciado pede segundos arredondados às décimas, logo $t\approx 41,4$ s.

Arredonda só no fim. Se arredondares valores intermédios, a décima pode fugir-te.

o número faz sentido?

Deriva mentalmente: $y^{\prime }(t)=56e^{-\frac{7}{40}t}-56$. Em $t=0$ dá $0$, e quando $t$ cresce tende para $-56$. Ou seja, a sonda parte do repouso e vai acelerando até uma velocidade praticamente constante de $56$ m/s — é exactamente o que um paraquedas faz.

Como a primeira parte da queda é a mais lenta, os primeiros $\frac{2}{3}$ do percurso têm de demorar mais do que $\frac{2}{3}$ do tempo total. O tempo total é $\approx 59,3$ s, e $\frac{2}{3}\times 59,3\approx 39,5$ s. O teu resultado, $41,4$ s, é um pouco maior — coerente.

Se tivesses obtido um valor menor do que $39,5$ s, estarias quase de certeza a resolver a equação errada.

onde é que se perdem pontos

• Escrever $y(t)=\frac{2}{3}y(0)$ em vez de $\frac{1}{3}y(0)$ — é o erro central do item, e leva atrás a etapa da equação e a do valor final.
• Não apresentar equação nenhuma: pela nota 1 dos critérios, essa etapa passa a 0 pontos.
• Desenhar o gráfico sem referencial: $-1$ ponto (nota 2).
• Desenhar o gráfico sem respeitar o domínio $t\ge 0$, ou prolongando-o para lá do instante em que a sonda chega ao solo: $-1$ ponto (nota 3).
• Não assinalar o ponto de intersecção: perdem-se os 2 pontos dessa etapa, mesmo com o valor certo escrito ao lado.
• Apresentar $41$ s, ou $41,42$ s: o resultado não respeita a forma pedida e é penalizado.
• Esquecer as unidades (segundos).

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Duas ideias, e servem para todos os itens «recorrendo à calculadora»:

1. A cotação está quase toda no caminho, não no número: equação, gráfico com janela coerente com o domínio, ponto assinalado, valor na forma pedida. Um aluno que escreva só «$41,4$ s» tem 2 pontos em 14.
2. Quando a função dá a distância que falta até um ponto de chegada, uma fracção do percurso já percorrido traduz-se sempre pela fracção complementar do que resta.