Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 13, resolvido

Este item junta três coisas que se avaliam quase sempre em conjunto nos complexos: traduzir «raiz cúbica» numa potência, usar a forma trigonométrica para elevar a uma potência e impor uma condição sobre o módulo. Nenhuma delas é difícil sozinha; o que se perde é nas passagens entre elas.

E há uma restrição a levar a sério: o enunciado proíbe a calculadora. Isso significa que o argumento de $w$ tens de o reconhecer do círculo trigonométrico, e que o resultado final fica em valor exacto.

1.º — traduzir «$w$ é uma das raízes cúbicas de $z$»

Dizer que $w$ é uma raiz cúbica de $z$ é dizer, por definição, que

Repara na ordem: é $w$ que se eleva ao cubo, não $z$. A palavra «uma das» está lá porque um complexo não nulo tem exactamente três raízes cúbicas — mas as três, elevadas ao cubo, dão o mesmo $z$. Por isso saber que $w$ é uma delas chega para determinar $z$ sem ambiguidade nenhuma.

Esta etapa está pontuada por si (2 pontos). Escreve a igualdade $z=w^3$ explicitamente na folha.

2.º — passar $w$ à forma trigonométrica (e porquê)

Podias tentar ${\left(-\sqrt{3}+i\right)}^3$ na forma algébrica, com o binómio — dá, mas é longo e cheio de sinais a trocar. Na forma trigonométrica, elevar a uma potência resume-se a elevar o módulo e multiplicar o argumento, que é a fórmula de De Moivre. É por isso que se muda de forma.

Módulo:

Argumento $\theta$: de $w=2\left(\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta \right)$ retiras

O afixo de $w$ tem parte real negativa e parte imaginária positiva, logo está no segundo quadrante. O ângulo do segundo quadrante com aquele cosseno e aquele seno é $\theta =\frac{5\pi }{6}$ (é o simétrico, em relação ao eixo $Oy$, do ângulo $\frac{\pi }{6}$, o de referência para $\cos =\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\mathrm{sen}=\frac{1}{2}$).

Esta etapa vale 2 pontos. Sem calculadora, é aqui que o círculo trigonométrico tem de estar na cabeça.

3.º — elevar ao cubo

Vale 1 ponto. Agora reduz o argumento a $[0,2\pi [$, subtraindo uma volta completa:

Passar à forma algébrica $z=8i$ vale outro ponto — e não é decorativo: o resto do item é uma conta de módulo, e essa faz-se na forma algébrica.

4.º — reduzir a potência $i^{23}$

As potências de $i$ repetem-se de quatro em quatro: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. Por isso só interessa o resto da divisão do expoente por $4$:

Vale 1 ponto.

5.º — escrever o complexo na forma algébrica

Substituindo, e lembrando que $x$ é real (portanto entra na parte real):

Para tirar o $i$ do denominador, usa $\frac{1}{-i}=i$. Confirma-o: $\frac{1}{-i}=\frac{1}{-i}\times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^2}=\frac{i}{-(-1)}=i$. Então

Esta passagem vale 2 pontos. E o desenvolvimento,

vale mais 1 ponto. Parte real $-8$, parte imaginária $-x$.

6.º — impor que o módulo é $9$

Escrever esta equação vale 2 pontos. Resolve-a — os dois membros são não negativos, por isso podes elevar ao quadrado sem perder nem ganhar soluções:

O enunciado pede o número real negativo, logo

Vale os últimos 2 pontos — e a frase de escolha entre as duas raízes tem de estar escrita.

pelo módulo do quociente, sem passar à forma algébrica

Este é o segundo processo que os critérios aceitam, e é mais curto. Depois de teres $z=8i$, usa a propriedade o módulo de um quociente é o quociente dos módulos:

Como $|i|=1$, tem-se $\left|i^{23}\right|=|i{|}^{23}=1^{23}=1$ — dividir por $i^{23}$ não altera o módulo nenhum. Logo a condição fica

e chegas à mesma equação, com a mesma solução $x=-\sqrt{17}$. Neste processo as etapas pontuadas são «reconhecer que o módulo do quociente é o quociente dos módulos» (2 pontos) e «reconhecer que $\left|i^{23}\right|=1$» (2 pontos), em vez das três da forma algébrica.

valor exacto, não aproximação

O enunciado da prova avisa que, quando não é pedida aproximação, se apresenta sempre o valor exacto. A resposta é $-\sqrt{17}$, e não $-4,12$ nem $-4,123$. Além disso, $\sqrt{17}$ já está na forma mais simples: $17$ é primo, não há quadrado nenhum a sair de dentro da raiz.

confere o resultado

Com $x=-\sqrt{17}$:

e, como dividir por $i^{23}$ não muda o módulo, o módulo pedido é mesmo $9$. Nota ainda que $-\sqrt{17}\approx -4,1$, que é de facto negativo — a condição do enunciado está respeitada.

onde é que este item se perde

• Trocar a direcção da raiz cúbica. «$w$ é raiz cúbica de $z$» é $w^3=z$. Quem escreve $z^3=w$ perde a etapa de 2 pontos e todas as que vêm a seguir.
• Errar o quadrante do argumento de $w$. Com $\cos \theta <0$ e $\mathrm{sen}\theta >0$ o argumento é $\frac{5\pi }{6}$; escrever $-\frac{\pi }{6}$ ou $\frac{\pi }{6}$ (esquecendo o sinal do $-\sqrt{3}$) dá um $z$ errado e parte o item ao meio.
• Esquecer que ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2=3$ e escrever $|w|=\sqrt{3+1}$ mal, ou $|w|=\sqrt{-3+1}$.
• Não reduzir $\frac{5\pi }{2}$. Fica correcto, mas depois é preciso reconhecer que $\cos \frac{5\pi }{2}=0$ e $\mathrm{sen}\frac{5\pi }{2}=1$; é mais seguro tirar a volta completa primeiro.
• $i^{23}$ mal reduzido. O resto de $23$ por $4$ é $3$, logo $i^{23}=-i$. Dar $i$ (resto $1$) ou $-1$ (resto $2$) troca o sinal de tudo o que vem a seguir.
• $\frac{1}{-i}=i$, e não $-i$. É o erro de sinal mais frequente do item.
• Somar $x$ à parte imaginária. $x$ é real: $z-x=-x+8i$, a subtracção faz-se na parte real.
• Ficar-se pelas duas soluções $\pm \sqrt{17}$. O item pede o negativo; sem a frase que escolhe $-\sqrt{17}$ perdes a última etapa.
• Usar a calculadora. É explicitamente proibido neste item.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Guarda três reflexos: potência de complexo $\Rightarrow$ forma trigonométrica; expoente de $i$ $\Rightarrow$ resto da divisão por $4$; e condição sobre um módulo $\Rightarrow$ ou passas tudo à forma algébrica, ou usas $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ e poupas metade do trabalho. Quando o denominador é uma potência de $i$, o segundo caminho é quase sempre o mais rápido, porque o módulo dele é $1$.