Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 7.(AE2018), resolvido

O que governa este item não é uma conta, é uma estratégia de eliminação: o enunciado dá-te uma só equação, mas nela aparecem duas quantidades desconhecidas — $P(A)$ e $P(A\cap B)$ . O item só é possível porque, ao desdobrar as duas parcelas, o $P(A)$ desaparece sozinho. Percebe isso e o resto é álgebra.

A caixa de ferramentas é pequena e é sempre a mesma:

• leis de De Morgan: $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$ e $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ ;
• acontecimento contrário: $P(\overline{X})=1-P(X)$ ;
• probabilidade da união: $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)$ ;
• partição de um acontecimento: $P(X\cap \overline{Y})=P(X)-P(X\cap Y)$ .

1.º — tratar a primeira parcela — De Morgan e contrário

A primeira parcela é uma união de dois contrários. É o lado esquerdo de uma lei de De Morgan, e o lado direito é o contrário de uma intersecção — que é exactamente a quantidade que o item pede:

Não é um truque nem um atalho: é a única maneira de fazer aparecer $P(A\cap B)$ a partir de uma união. São duas etapas pontuadas ($2+2$ pontos), por isso escreve as duas igualdades separadamente.

Chama $x=P(A\cap B)$ , se te ajudar a não te perderes. A primeira parcela é $1-x$ .

2.º — tratar a segunda parcela — união, com o obstáculo do $P(A)$

A segunda parcela mistura $A$ com $\overline{B}$ , e aqui não há De Morgan a aplicar. Usa a fórmula da união:

Entrou um $P(A)$ que não conheces. Não te assustes — é ele que se vai anular. Repara: $A\cap \overline{B}$ é a parte de $A$ que fica fora de $B$ , e obtém-se tirando a $A$ a fatia que está em $B$ :

E o contrário de $B$ sai do único valor numérico que te deram:

Substituindo as duas coisas:

O $P(A)$ cancelou-se. É este o momento que o item mede: perceber que não precisas de $P(A)$ , e por isso não há nada em falta no enunciado. Atenção ao parêntesis na subtracção — sem ele obterias $0,3-x$ e a equação final daria outro valor.

3.º — montar e resolver a equação

Agora as duas parcelas estão escritas só à custa de $x$ :

a forma pedida

O enunciado pede o resultado na forma de dízima: escreve-se $0,3$ e não $\frac{3}{10}$ nem $30\%$ . Esta última etapa vale $4$ pontos — é a mais cara do item.

tudo por De Morgan, sem a fórmula da união

O critério dá um segundo processo que evita a fórmula da união e trabalha só com contrários. Aplica De Morgan às duas parcelas:

— na segunda usou-se $\overline{A\cup \overline{B}}=\overline{A}\cap B$ , que é a mesma lei lida ao contrário.

Falta ligar $P(\overline{A}\cap B)$ ao que se pede. É a fatia de $B$ que fica fora de $A$ :

Logo a diferença fica

e recai-se na mesma equação: $0,7-2x=0,1\iff x=0,3$ . Este caminho é mais curto e usa uma propriedade a menos; escolhe o que dominares melhor, porque valem os mesmos $14$ pontos.

existe mesmo um caso assim?

Um resultado de probabilidade tem de ser possível. Com $P(A\cap B)=0,3$ e $P(B)=0,7$ , basta encontrar um $A$ compatível: toma, por exemplo, $P(A)=0,5$ . Então $P(A\cap \overline{B})=0,5-0,3=0,2⩾0$ e $P(\overline{A}\cap B)=0,7-0,3=0,4⩾0$ ; tudo não negativo e a soma das quatro regiões dá $1$ . Confirma na equação: $P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-0,3=0,7$ e $P(A\cup \overline{B})=0,5+0,3-0,2=0,6$ ; a diferença é $0,7-0,6=0,1$ . Bate.

Repara ainda que o valor de $P(A)$ que escolhemos não alterou nada — como tinha de ser.

o que faz falhar este item

• Distribuir a probabilidade pela união, escrevendo $P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A})+P(\overline{B})$ . Só é verdade em acontecimentos incompatíveis, e nada no enunciado o garante.
• Errar a lei de De Morgan, trocando $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$ por $\overline{A\cup B}$ . A regra é: ao passar a barra para fora, o $\cup$ vira $\cap$ e vice-versa.
• Bloquear no $P(A)$ desconhecido e concluir que falta um dado. Desdobra até ao fim; ele anula-se.
• Esquecer o parêntesis ao subtrair $P(A\cup \overline{B})$ , ou ao substituir $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$ . É o erro de sinal mais comum do item.
• Usar $P(B)=0,7$ onde é preciso $P(\overline{B})=0,3$ . São etapas separadas no critério, precisamente por serem fáceis de confundir.
• Dar a resposta em fração ou em percentagem. É pedida dízima.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um item de probabilidades te dá uma única equação com uniões e contrários e pede uma intersecção, o plano é sempre o mesmo: põe um nome à incógnita ($x=P(A\cap B)$), reescreve cada parcela só à custa de $x$ e dos dados, usando De Morgan para as uniões de contrários e a partição $P(X\cap \overline{Y})=P(X)-P(X\cap Y)$ para as fatias, e confia em que as probabilidades desconhecidas se anulam. Se no fim sobrar mais do que uma incógnita, foi porque ficaste a meio de um desdobramento — não porque falte um dado.