Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 1.1, resolvido

O que governa este item. Uma superfície esférica de centro $C(a,b,c)$ e raio $r$ tem sempre a mesma equação:

O centro já te é dado — $C\left(\frac{1}{2},3,3\right)$ — por isso o único trabalho do item é descobrir $r$. E quem to dá é a palavra tangente.

1.º — o que significa ser tangente a um plano coordenado

Uma superfície esférica é tangente a um plano quando o toca num só ponto. E esse ponto é sempre a projeção ortogonal do centro sobre o plano, porque é o ponto do plano mais próximo do centro. Logo, a distância do centro ao plano é exactamente o raio:

O enunciado diz que a superfície é tangente ao plano $xOy$ no ponto $A$. O plano $xOy$ é o plano de equação $z=0$, e a distância de um ponto a esse plano é o módulo da sua cota:

a segunda tangência tem de dar o mesmo

O enunciado dá-te ainda uma segunda tangência, ao plano $xOz$, no ponto $B$. O plano $xOz$ é o plano $y=0$, e a distância a esse plano é o módulo da ordenada:

Os dois caminhos dão $3$, como tinha de ser — é a mesma superfície esférica. Esta coincidência não é acaso: a ordenada e a cota do centro são ambas $3$, e é precisamente por isso que a figura mostra a esfera a tocar os dois planos. Se te tivessem dado uma só tangência, chegava.

Repara também que a abcissa $\frac{1}{2}$ não entra em nenhuma destas contas. Ela só diz onde é que a esfera está colocada na direcção $Ox$; como não há tangência ao plano $yOz$, a abcissa não determina raio nenhum. É um número posto ali de propósito, para ver se o usas onde não deve entrar.

2.º — escrever a equação

Com $C\left(\frac{1}{2},3,3\right)$ e $r=3$:

que é a opção (A).

atenção ao $r^2$ do lado direito

O segundo membro é $r^2$ e não $r$. Aqui $r=3$ e $r^2=9$ — é o passo em que se perde o item por distracção, sobretudo quando o raio é um número pequeno e $r$ e $r^2$ parecem os dois «plausíveis».

de onde vem cada opção errada

As três erradas estão construídas a partir de dois enganos, cruzados um com o outro: usar a origem como centro, e usar a distância da origem ao centro como raio.

Essa distância é

e é daí que sai o $\frac{73}{4}$ que aparece em duas opções.

• (B) $x^2+y^2+z^2=\frac{73}{4}$ — junta os dois enganos: centro na origem e $r^2={\overline{OC}}^2=\frac{73}{4}$. É a superfície esférica de centro em $O$ que passa no ponto $C$; nada tem que ver com a da figura.
• (C) ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=\frac{73}{4}$ — acerta no centro, mas troca o raio pela distância da origem ao centro. É o erro de quem calcula $\overline{OC}$ por reflexo, sem perguntar para que serve.
• (D) $x^2+y^2+z^2=9$ — acerta no raio ($r=3$, logo $r^2=9$), mas põe o centro na origem. Costuma vir de escrever a equação «tipo» sem substituir as coordenadas do centro.

onde é que este item se perde

• Confundir os planos coordenados. O plano $xOy$ é $z=0$ (é o «chão»), o plano $xOz$ é $y=0$. Quem troca os dois vai buscar a coordenada errada. Neste item os dois valores calham ser $3$, por isso o engano não se paga — mas num exame em que o centro tenha coordenadas diferentes, paga-se todo.
• Usar $\overline{OC}$ como raio. A distância da origem ao centro não é raio nenhum: a origem não está sobre a superfície esférica, nem é ponto notável dela.
• Escrever $r$ em vez de $r^2$ no segundo membro.
• Sinais no primeiro membro. A equação leva $(y-b)$, com menos. Se o centro tivesse ordenada negativa, ficaria $(y+|b|)$ — aqui não acontece, mas é o sítio onde mais se erra em geral.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que leres «tangente a um plano coordenado», traduz imediatamente para «o raio é o módulo de uma coordenada do centro»: tangente a $xOy$ $\Rightarrow$ $r=|c|$ (cota); tangente a $xOz$ $\Rightarrow$ $r=|b|$ (ordenada); tangente a $yOz$ $\Rightarrow$ $r=|a|$ (abcissa). Com essa tradução feita, o item passa a ser só substituir na equação.