Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 14, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2026 · Época especial

14.

Na Figura 4, estão representados, em referencial o.n. $O x y$ , o gráfico da função $f$ , de domínio $[0, 2 π]$ , definida por $f (x) = k cos x$ , com $k \in R^{+}$ , e os pontos $A$ e $B$ , pertencentes ao gráfico da função $f$ .

Figura 4: em referencial $Oxy$, o gráfico de $f(x) = k\cos x$ em $[0, 2\pi]$ — começa num máximo sobre o eixo $Oy$, desce até um mínimo e volta a subir até $2\pi$; o ponto $A$ está no ramo descendente, acima do eixo $Ox$, e o ponto $B$ está abaixo do eixo $Ox$, à esquerda do mínimo; um segmento a tracejado liga o ponto do gráfico de abcissa $2\pi$ ao eixo $Ox$ — Figura 4

Sabe-se que:

a abcissa do ponto $A$ pertence ao intervalo $] 0, \frac{π}{2} [$ , e a abcissa do ponto $B$ excede em $\frac{π}{2}$ a abcissa do ponto $A$ ;
a distância do ponto $A$ ao semieixo positivo $O x$ excede em $1$ a distância do ponto $B$ a esse semieixo;
$\frac{7 π}{2}$ é a área do retângulo de diagonal $[A B]$ e lados paralelos, dois a dois, aos eixos coordenados.

Determine o valor de $k$ .

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

Seja $a$ a abcissa do ponto $A$ , com $a \in] 0, \frac{π}{2} [$ .

A ordenada de $A$ é $f (a) = k cos a$ .

A abcissa de $B$ é $a + \frac{π}{2}$ e a sua ordenada é

f (a + \frac{π}{2}) = k cos (a + \frac{π}{2}) = - k sen a

Como $a \in] 0, \frac{π}{2} [$ e $k > 0$ , tem-se $k cos a > 0$ e $- k sen a < 0$ , pelo que a distância de $A$ ao semieixo positivo $O x$ é $k cos a$ e a de $B$ é $k sen a$ .

Da segunda condição vem

k cos a = k sen a + 1

O retângulo de diagonal $[A B]$ e lados paralelos aos eixos tem lados de comprimento $(a + \frac{π}{2}) - a = \frac{π}{2}$ e $k cos a - (- k sen a) = k cos a + k sen a$ , pelo que, da terceira condição,

(k cos a + k sen a) \times \frac{π}{2} = \frac{7 π}{2} \Leftrightarrow k cos a + k sen a = 7

Somando e subtraindo membro a membro as duas igualdades $k cos a - k sen a = 1$ e $k cos a + k sen a = 7$ , obtém-se $2 k cos a = 8$ e $2 k sen a = 6$ , isto é,

cos a = \frac{4}{k} \land sen a = \frac{3}{k}

Pela fórmula fundamental da trigonometria, $sen^{2} a + cos^{2} a = 1$ , vem

(\frac{4}{k})^{2} + (\frac{3}{k})^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{16}{k ^{2}} + \frac{9}{k ^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{25}{k ^{2}} = 1 \Leftrightarrow k^{2} = 25 \Leftrightarrow k = - 5 \lor k = 5

Como $k \in R^{+}$ , conclui-se que $k = 5$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este é o item que mais gente abandona à entrada, porque o enunciado dá três condições e nenhum número onde pegar. O desbloqueio é sempre o mesmo: dá um nome à coisa que falta. Aqui falta a abcissa de $A$ — chama-lhe $a$ e escreve tudo em função de $a$ e de $k$ . As três condições passam então a ser três equações.

dar nome à abcissa de $A$

Seja $a$ a abcissa do ponto $A$ . O enunciado diz que

a \in] 0, \frac{π}{2} [

Guarda bem este intervalo: é ele que vai decidir os sinais de $cos a$ e de $sen a$ , e é nos sinais que este item se decide. Em $] 0, \frac{π}{2} [$ (primeiro quadrante) tem-se $cos a > 0$ e $sen a > 0$ .

1.º — coordenadas de $A$

$A$ pertence ao gráfico de $f$ , logo a ordenada é a imagem da abcissa:

A = (a, k cos a)

Vale 1 ponto.

2.º — coordenadas de $B$

«A abcissa de $B$ excede em $\frac{π}{2}$ a abcissa de $A$ » quer dizer que se soma $\frac{π}{2}$ :

x_{B} = a + \frac{π}{2}

Vale 1 ponto. E, como $B$ também está no gráfico,

y_{B} = f (a + \frac{π}{2}) = k cos (a + \frac{π}{2})

Aqui não podes ficar-te por esta expressão — a etapa só está cumprida quando reduzes. Pela redução ao primeiro quadrante (ou pela fórmula do cosseno da soma, $cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b$ , com $b = \frac{π}{2}$ , que dá $cos a \times 0 - sen a \times 1$ ):

cos (a + \frac{π}{2}) = - sen a \Rightarrow y_{B} = - k sen a

B = (a + \frac{π}{2}, - k sen a)

Esta etapa vale 2 pontos — é a que mais se perde, e é a que faz o item andar.

3.º — traduzir as distâncias aos eixos (atenção aos módulos)

A distância de um ponto ao eixo $O x$ é o módulo da ordenada. Como as abcissas de $A$ e de $B$ são positivas, é ao semieixo positivo $O x$ que os dois pontos ficam associados, e as distâncias são $∣ y_{A} ∣$ e $∣ y_{B} ∣$ .

Agora usa os sinais que guardaste:

$a \in] 0, \frac{π}{2} [$ e $k > 0$ $\Rightarrow$ $y_{A} = k cos a > 0$ , logo a distância de $A$ é $∣ y_{A} ∣ = k cos a$ ;
$y_{B} = - k sen a < 0$ , logo a distância de $B$ é $∣ y_{B} ∣ = k sen a$ .

Isto confirma-se na figura: $A$ está acima do eixo $O x$ e $B$ abaixo.

«A distância de $A$ excede em $1$ a distância de $B$ » escreve-se então

k cos a = k sen a + 1

Vale 1 ponto. Repara no que aconteceria sem o módulo: escreverias $y_{A} = y_{B} + 1$ , ou seja $k cos a = - k sen a + 1$ , com o sinal trocado — e a partir daí o item está perdido.

4.º — a área do retângulo

O retângulo tem $[A B]$ por diagonal e os lados paralelos aos eixos. Isso obriga os outros dois vértices a ser $(a, - k sen a)$ e $(a + \frac{π}{2}, k cos a)$ , e os lados a medir:

horizontal: $x_{B} - x_{A} = (a + \frac{π}{2}) - a = \frac{π}{2}$ — repara que o $a$ desaparece, o lado não depende de onde está $A$ ;
vertical: $y_{A} - y_{B} = k cos a - (- k sen a) = k cos a + k sen a$ — é uma soma, porque os pontos estão de lados opostos do eixo $O x$ e as duas distâncias somam-se.

Igualando a área dada:

(k cos a + k sen a) \times \frac{π}{2} = \frac{7 π}{2}

Esta é a etapa mais cotada do item: 3 pontos. Simplifica (divide os dois membros por $\frac{π}{2}$ , que é positivo):

k cos a + k sen a = 7

5.º — resolver o sistema em $k cos a$ e $k sen a$

Junta as duas condições, escrevendo a primeira com tudo do mesmo lado:

{k cos a - k sen a = 1 k cos a + k sen a = 7

O truque é não tentar encontrar $a$ : trata $k cos a$ e $k sen a$ como duas incógnitas. Somando as duas equações membro a membro, o $k sen a$ cancela-se:

2 k cos a = 8 \Leftrightarrow k cos a = 4 \Leftrightarrow cos a = \frac{4}{k}

Subtraindo-as, cancela-se o $k cos a$ :

2 k sen a = 6 \Leftrightarrow k sen a = 3 \Leftrightarrow sen a = \frac{3}{k}

(A divisão por $k$ é legítima: $k \in R^{+}$ , logo $k \neq = 0$ .) Esta etapa vale 2 pontos.

6.º — a fórmula fundamental elimina o ângulo

Tens $cos a$ e $sen a$ escritos em função de $k$ , e uma relação que vale sempre entre eles. É ela que faz desaparecer o ângulo que nunca chegaste a conhecer:

sen^{2} a + cos^{2} a = 1 \Rightarrow (\frac{4}{k})^{2} + (\frac{3}{k})^{2} = 1

Vale 2 pontos. E agora é conta:

\frac{16}{k ^{2}} + \frac{9}{k ^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{25}{k ^{2}} = 1 \Leftrightarrow k^{2} = 25 \Leftrightarrow k = - 5 \lor k = 5

Como $k \in R^{+}$ ,

k = 5

Valem os últimos 2 pontos — e a frase que rejeita $k = - 5$ faz parte da resposta.

elevar ao quadrado e somar, sem isolar $cos a$ e $sen a$

Do sistema $k cos a - k sen a = 1$ e $k cos a + k sen a = 7$ , eleva ambas ao quadrado e soma:

(k cos a - k sen a)^{2} + (k cos a + k sen a)^{2} = 1^{2} + 7^{2}

Os duplos produtos são simétricos e anulam-se:

2 k^{2} cos^{2} a + 2 k^{2} sen^{2} a = 50 \Leftrightarrow 2 k^{2} (cos^{2} a + sen^{2} a) = 50 \Leftrightarrow 2 k^{2} = 50 \Leftrightarrow k^{2} = 25

e, com $k > 0$ , $k = 5$ . Chega ao mesmo em menos linhas, mas escreve na mesma a fórmula fundamental — é ela que vale os pontos.

os números fecham?

Com $k = 5$ : $cos a = \frac{4}{5}$ e $sen a = \frac{3}{5}$ — o clássico triângulo $3$ – $4$ – $5$ , e ambos positivos, o que é coerente com $a$ no primeiro quadrante ( $a = arccos 0, 8 \approx 0, 64$ rad, e de facto $0 < 0, 64 < \frac{π}{2} \approx 1, 57$ ).

Então $y_{A} = 5 \times \frac{4}{5} = 4$ e $y_{B} = - 5 \times \frac{3}{5} = - 3$ . As distâncias ao eixo são $4$ e $3$ , e $4 = 3 + 1$ ✓. A área do retângulo é $\frac{π}{2} \times (4 + 3) = \frac{7 π}{2}$ ✓. As três condições estão satisfeitas.

valor exacto e o sinal de $k$

$k = 5$ é exacto, não há arredondamento nenhum a fazer. E a rejeição de $k = - 5$ não é um detalhe: o enunciado escreve $k \in R^{+}$ precisamente para que a resposta seja única.

onde é que este item se perde

Não dar nome à abcissa de $A$ . Sem o $a$ não há como escrever nada; é o passo que os próprios critérios põem à cabeça.
Deixar $y_{B} = k cos (a + \frac{π}{2})$ por reduzir. São 2 pontos, e sem $- k sen a$ a fórmula fundamental nunca aparece.
Reduzir mal: $cos (a + \frac{π}{2}) = - sen a$ , e não $+ sen a$ nem $cos a$ . Confirma no círculo trigonométrico: somar $\frac{π}{2}$ roda um quarto de volta.
Esquecer os módulos nas distâncias. $B$ está abaixo do eixo, a distância é $∣ y_{B} ∣ = k sen a$ , um número positivo.
Escrever o lado vertical como uma diferença $k cos a - k sen a$ . É a soma: os dois pontos estão de lados opostos do eixo $O x$ .
Tentar encontrar $a$ primeiro. As condições não determinam $a$ sozinho, determinam o par; quem parte para $arctan$ perde-se.
Aceitar $k = - 5$ . O domínio de $k$ é $R^{+}$ .
Responder só com o valor. É um item de construção: os cálculos e as justificações — em particular o sinal de cada ordenada — têm de estar na folha.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um problema dá várias condições sobre pontos de um gráfico trigonométrico e pergunta um parâmetro, o caminho é quase sempre este: nomear a abcissa desconhecida, escrever tudo em função dela e do parâmetro, e depois eliminar o ângulo com $sen^{2} + cos^{2} = 1$ . O ângulo é uma incógnita auxiliar que nunca precisas de calcular — e reconhecer isso poupa metade da prova.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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