Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 16, resolvido

O que governa este item. É um «Mostre que»: a tese já te é dada, portanto não há nada para descobrir — há um caminho para construir e escrever. Nos critérios, «Concluir o pretendido» vale $4$ dos $14$ pontos, o que te diz à letra que a conta final (a subtração que faz aparecer $1+\frac{1}{\cos \alpha }$) tem de estar escrita na folha, não subentendida.

E há uma observação que simplifica tudo, e que convém fazer antes de qualquer conta: $A$ e $B$ estão os dois na reta $x=1$. Logo $[AB]$ é um segmento vertical e

Ou seja: o item inteiro reduz-se a encontrar duas ordenadas e subtraí-las.

1.º — a ordenada de $A$ — a reta $x=1$ é o eixo das tangentes

A reta $OA$ passa na origem e tem inclinação $\alpha$, logo tem declive $\mathrm{tg}\alpha$ e equação $y=x\mathrm{tg}\alpha$. Fazendo $x=1$:

Isto é exactamente a leitura geométrica da tangente na circunferência trigonométrica: a reta $x=1$ é o eixo das tangentes, e a ordenada do ponto onde o lado extremidade do ângulo a corta é $\mathrm{tg}\alpha$.

Confere que é coerente com o enunciado: como $\alpha \in \left]0,\frac{\pi }{4}\right[$, tem-se $\mathrm{tg}\alpha \in \left]0,1\right[$ — ordenada positiva, como é dito. Vale $1$ ponto.

2.º — as coordenadas de $C$ — e o sinal que decide o item

Um ponto da circunferência trigonométrica associado a um ângulo $\theta$ tem coordenadas $\left(\cos \theta ,\mathrm{sen}\theta \right)$. A reta $OA$ corta a circunferência em dois pontos: o do ângulo $\alpha$, no $1{.}^{\text{o}}$ quadrante, e o diametralmente oposto, do ângulo $\alpha +\pi$, no $3{.}^{\text{o}}$ quadrante. O enunciado diz que $C$ tem coordenadas negativas, logo é o segundo. Pelas fórmulas de redução,

Etapa de $2$ pontos, e a mais perigosa do item: se trocares os sinais aqui, tudo o que vem a seguir sai errado e a igualdade nunca fecha. Se, a meio, vires que o resultado não dá, é a este passo que deves voltar primeiro.

3.º — a equação reduzida da reta $CD$ — $4$ pontos, a etapa mais cotada

$D=(0,1)$ está sobre o eixo $Oy$, portanto a ordenada na origem da reta $CD$ é $1$ e a equação é da forma $y=mx+1$ — poupaste o sistema que seria preciso com dois pontos quaisquer.

O declive é a razão entre as variações:

O denominador não é zero: de $\alpha \in \left]0,\frac{\pi }{4}\right[$ vem $\cos \alpha >0$. Diz isto na folha — é o que garante que a reta $CD$ não é vertical e que a equação reduzida existe.

4.º — a ordenada de $B$ — $3$ pontos

$B$ é a intersecção de $CD$ com $x=1$: substitui.

5.º — concluir — $4$ pontos, e a passagem que faz tudo colapsar

Pela figura, $B$ está acima de $A$, logo $\overline{AB}=y_B-y_A$:

Agora o passo que resolve o item: escreve a tangente como quociente, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }$. É isso que põe as duas parcelas com o mesmo denominador e faz o seno desaparecer:

E separa a fracção, que é a forma pedida:

como se pretendia mostrar.

$2{.}^{\text{o}}$ Processo — por ângulos, sem coordenadas

Os critérios admitem um segundo processo, com a mesma cotação total. É mais bonito e mais curto de escrever, mas exige ver bem a figura.

Passo 1 — o ângulo $A\hat{O}D$. A semirreta $OA$ faz $\alpha$ com $Ox$ e $OD$ é o semieixo positivo $Oy$, logo o ângulo convexo $A\hat{O}D$ mede $\frac{\pi }{2}-\alpha$. (1 ponto)

Passo 2 — o ângulo $A\hat{C}B$. Como $\overline{OC}=\overline{OD}=1$ (são raios da circunferência trigonométrica), o triângulo $[OCD]$ é isósceles. O ângulo $C\hat{O}D$ é suplementar de $A\hat{O}D$, logo mede $\frac{\pi }{2}+\alpha$, e os ângulos da base valem cada um

Como $A$ está na semirreta $CO$ para lá de $O$, e $B$ na semirreta $CD$ para lá de $D$, o ângulo $A\hat{C}B$ é o ângulo $O\hat{C}D$: mede $\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}$. (2 pontos)

Passo 3 — o ângulo $B\hat{A}C$. O ângulo suplementar de $B\hat{A}C$ mede $\frac{\pi }{2}-\alpha$ (é o ângulo entre a semirreta $AC$, de inclinação $\alpha$, e a semirreta vertical descendente a partir de $A$), (2 pontos) logo

(2 pontos)

Passo 4 — o ângulo $C\hat{B}A$. Pela soma dos ângulos internos do triângulo $[ABC]$,

(1 ponto)

Passo 5 — o triângulo é isósceles. Como $A\hat{C}B=C\hat{B}A$, o triângulo $[ABC]$ é isósceles e os lados opostos a esses ângulos são iguais: $\overline{AB}=\overline{AC}$. (1 ponto)

Passo 6 — medir $\overline{AC}$. De $A=\left(1,\mathrm{tg}\alpha \right)$ (1 ponto), no triângulo retângulo de vértices $O$, $(1,0)$ e $A$ tem-se $\cos \alpha =\frac{1}{\overline{OA}}$, donde

(3 pontos)

Como $O$ está entre $C$ e $A$ e $\overline{OC}=1$ (raio),

(1 ponto)

Escolhe um processo e escreve-o até ao fim. Misturar os dois a meio é a forma mais segura de não fechar nenhum.

testa com um valor concreto

Um «Mostre que» não se confere com um exemplo — mas um exemplo apanha erros de sinal em segundos, e vale a pena fazê-lo no rascunho. Toma $\alpha =\frac{\pi }{6}$: então $A=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, $C=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$, o declive de $CD$ é $\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}$ e $y_B=\sqrt{3}+1\approx 2,732$.

Daí $\overline{AB}\approx 2,732-0,577=2,155$; e $1+\frac{1}{\cos \frac{\pi }{6}}=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,155$. Bate.

onde se perdem os $14$ pontos

• Sinais de $C$: escrever $C=\left(\cos \alpha ,\mathrm{sen}\alpha \right)$ é o erro mais frequente e custa os $2$ pontos da etapa e todas as etapas seguintes, porque a igualdade deixa de fechar.
• Não usar que $D$ está no eixo $Oy$ e montar um sistema com dois pontos: não é erro, mas gasta tempo e abre portas a enganos de cálculo.
• Trocar a ordem no declive: $\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}$ e $\frac{y_C-y_D}{x_C-x_D}$ dão o mesmo, mas $\frac{y_D-y_C}{x_C-x_D}$ dá o simétrico.
• Não escrever $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }$ na subtração final: sem isso as parcelas não juntam e o seno não se cancela.
• Parar em $\frac{1+\cos \alpha }{\cos \alpha }$. Está certo, mas não é a forma pedida: o enunciado pede $1+\frac{1}{\cos \alpha }$. Num «Mostre que», a última linha tem de ser exactamente a tese.
• Não justificar $\cos \alpha \ne 0$: é o que permite dividir e escrever a equação reduzida.
• Escrever $\overline{AB}=y_A-y_B$: dá o simétrico, um comprimento negativo. Como $\alpha \in \left]0,\frac{\pi }{4}\right[$, $B$ está acima de $A$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Na circunferência trigonométrica, três leituras resolvem quase tudo e convém tê-las automáticas: ponto sobre a circunferência $\to \left(\cos \theta ,\mathrm{sen}\theta \right)$; ponto sobre $x=1$ $\to$ ordenada $\mathrm{tg}\theta$; ponto diametralmente oposto $\to$ ambas as coordenadas com o sinal trocado.

E fixa o método que usaste: quando dois pontos estão na mesma reta vertical, a distância é a diferença das ordenadas — não precisas da fórmula da distância entre dois pontos, nem de raízes. Procura sempre esse alinhamento antes de começar a calcular.