Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 10, resolvido

Este item não te pede contas: pede duas justificações. Cada proposição cai por causa de uma das três condições do enunciado, e o teu trabalho é ligar a condição certa à proposição certa e dizê-lo com as palavras da Matemática. Repara que te dão três informações e que cada uma delas tem um papel:

• $f^{\prime }(x)<0$ para qualquer $x\in \mathbb{R}$ — dá-te a monotonia;
• $f(0)=2$ — dá-te um valor de referência para comparar;
• $f(1)\times f(2)<0$ — dá-te sinais contrários em $1$ e em $2$ , que é o gatilho do teorema de Bolzano-Cauchy.

1.º — justificar que a proposição I é falsa

A proposição I afirma que $f(1)>2$ . Para a negar não precisas de saber quanto vale $f(1)$ ; chega saber de que lado de $2$ ele está.

O sinal da derivada dá o sentido de variação da função. Como $f^{\prime }(x)<0$ para qualquer $x\in \mathbb{R}$ , a função $f$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

Numa função decrescente, a ordens maiores correspondem imagens menores. Como $0<1$ , vem

E como $f(0)=2$ , conclui-se que $f(1)<2$ . Portanto é falso que $f(1)>2$ : a proposição I é falsa.

O que tem de estar escrito, para a justificação contar como completa: (i) que $f$ é decrescente em $\mathbb{R}$ porque $f^{\prime }(x)<0$ em todo o domínio; (ii) a comparação $f(1)<f(0)$ ; (iii) a substituição $f(0)=2$ e a conclusão. Saltar o passo (i) é o erro que baixa o nível.

2.º — justificar que a proposição II é falsa

A proposição II afirma que o domínio de $\frac{1}{f}$ é $\mathbb{R}$ . O domínio de um quociente exclui os zeros do denominador:

Ou seja: se $f$ tiver pelo menos um zero, o domínio de $\frac{1}{f}$ não pode ser $\mathbb{R}$ , porque esse zero fica de fora. Falta então garantir que $f$ tem um zero — e é para isso que serve a terceira condição.

A função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ , logo é contínua no intervalo $[1,2]$ . E de $f(1)\times f(2)<0$ conclui-se que $f(1)$ e $f(2)$ são não nulos e de sinais contrários. Estão reunidas as condições do corolário do teorema de Bolzano-Cauchy, que garante que

Esse $c$ não pertence a $D_{\frac{1}{f}}$ . Como $c\in \mathbb{R}$ , o domínio de $\frac{1}{f}$ está estritamente contido em $\mathbb{R}$ e, portanto, não é $\mathbb{R}$ : a proposição II é falsa.

O que tem de estar escrito: (i) a continuidade de $f$ em $[1,2]$ ; (ii) os sinais contrários, lidos de $f(1)\times f(2)<0$ ; (iii) a invocação do teorema de Bolzano-Cauchy (ou do seu corolário) com a conclusão $f(c)=0$ para algum $c\in \left]1,2\right[$ ; (iv) a definição do domínio de $\frac{1}{f}$ e a conclusão.

um segundo argumento para a proposição II

Há um caminho que dispensa Bolzano e usa a monotonia que já provaste. Como $f$ é decrescente e $f(1)\times f(2)<0$ , tem de ser $f(1)>0$ e $f(2)<0$ (a hipótese contrária, $f(1)<0$ e $f(2)>0$ , daria $f(1)<f(2)$ , o que contraria a função ser decrescente). Uma função contínua que passa de positiva a negativa anula-se algures — e voltas a precisar de Bolzano para o afirmar.

Por isso, na prática, o teorema de Bolzano-Cauchy é incontornável neste item. O que este raciocínio acrescenta é o sinal de cada imagem, que torna a resposta mais completa e mostra que percebeste a interação entre as três condições. Não substitui o teorema: complementa-o.

como é que este item é corrigido

O item é classificado por níveis de desempenho, em dois parâmetros:

• A — Conteúdos, até $12$ pontos: $12$ com as duas justificações completas; $9$ com uma completa e a outra incompleta; $6$ com apenas uma completa ou com as duas incompletas; $3$ com apenas uma incompleta.
• B — Linguagem Científica, até $2$ pontos: $2$ se usares adequadamente o vocabulário específico da Matemática, $1$ se o usares com uma ou mais falhas.

Duas consequências práticas. Primeira: nunca deixes uma das proposições sem resposta — mesmo uma justificação incompleta vale nível, e o salto de $6$ para $9$ pontos custa só escrever a segunda. Segunda: os $2$ pontos do parâmetro B ganham-se com nomes corretos — «função decrescente», «teorema de Bolzano-Cauchy», «domínio», «contínua no intervalo $[1,2]$» . Escrever «a função vai para baixo» ou «o de baixo não pode ser zero» custa esses pontos.

onde é que isto se perde

• Responder só a uma das proposições. É o corte mais caro: de $12$ para $6$ pontos no parâmetro A.
• Afirmar que $f$ é decrescente sem dizer porquê. A razão é $f^{\prime }(x)<0$ para qualquer $x\in \mathbb{R}$ , e tem de estar escrita. Sem ela a justificação fica incompleta.
• Tentar calcular $f(1)$ ou o zero de $f$ . Não há função nenhuma dada; não há nada para calcular. Quem procura uma expressão de $f$ perde o tempo todo do item.
• Usar Bolzano sem verificar as hipóteses. O teorema exige continuidade no intervalo fechado $[1,2]$ e imagens de sinais contrários nos extremos. Invocar o teorema sem enunciar as duas condições é uma justificação incompleta.
• Concluir que a função tem exatamente um zero. O teorema garante pelo menos um. Neste caso a monotonia até garantiria a unicidade, mas isso não é preciso para negar a proposição — e afirmá-lo sem justificar é uma falha de linguagem científica.
• Confundir o domínio de $f$ com o domínio de $\frac{1}{f}$ . $f$ tem domínio $\mathbb{R}$ ; $\frac{1}{f}$ é $\mathbb{R}$ sem os zeros de $f$ . É esta diferença que faz a proposição II ser falsa.