Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 8.1, resolvido

Este item não precisa de uma única coordenada. O que o governa são duas propriedades do cubo: arestas concorrentes são perpendiculares (logo o produto escalar delas é nulo) e arestas paralelas com o mesmo sentido fazem ângulo nulo (logo o produto escalar delas é positivo). Todo o trabalho está em ler a figura com cuidado.

arrumar os vértices na figura

Na Figura 1, o cubo tem duas faces opostas, $[ABCD]$ e $[EFGH]$ , e as quatro arestas que as ligam são $[AH]$ , $[BG]$ , $[CF]$ e $[DE]$ . Repara em $H$ : é o vértice a tracejado, o escondido, e liga-se a $A$ .

Daqui saem as três arestas concorrentes no vértice $A$ : $[AB]$ , $[AD]$ e $[AH]$ . São perpendiculares duas a duas e têm todas o mesmo comprimento, que é a aresta $a$ do cubo. Guarda estas três igualdades, porque são elas que resolvem tudo:

1.º — o produto $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}$ , que decide as opções (A) e (C)

Como $[AH]$ e $[BG]$ são arestas da mesma face $[ABGH]$ , tens $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AH}$ e, pela regra do triângulo,

Ou seja: $\overrightarrow{AG}$ é a diagonal do quadrado $[ABGH]$ e $\overrightarrow{AH}$ é um dos lados desse quadrado. Agora distribui o produto escalar, usando as igualdades que guardaste:

Como $a>0$ , vem $a^2>0$ : o produto é positivo. Isso deita fora a opção (A), que o diz negativo, e a opção (C), que o diz nulo.

Podes ler o mesmo pelo ângulo, sem contas: o ângulo entre a diagonal de um quadrado e um dos seus lados é $45^{\circ }$ , e $\cos 45^{\circ }>0$ , logo $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}=\Vert \overrightarrow{AG}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AH}\Vert \times \cos 45^{\circ }>0$ .

2.º — o produto $\overrightarrow{FC}\cdot \overrightarrow{AD}$ , que decide as opções (B) e (D)

$[CF]$ é uma das arestas que ligam a face $[ABCD]$ à face $[EFGH]$ , tal como $[AH]$ . Duas arestas de um cubo com a mesma direção são paralelas, e o sentido de $F$ para $C$ é o sentido de $H$ para $A$ , portanto

Mas $[HA]$ e $[AD]$ são duas arestas concorrentes no vértice $A$ , logo perpendiculares. Dois vetores perpendiculares têm produto escalar nulo:

A opção (B) é verdadeira, e a (D), que exige produto positivo, é falsa.

A resposta é a opção (B).

de onde vem cada opção errada

• (A) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}<0$ — vem de olhar para a figura e ver $\overrightarrow{AG}$ a apontar «para trás», concluindo que o ângulo é obtuso. Não é: $\overrightarrow{AG}$ e $\overrightarrow{AH}$ partem ambos de $A$ e fazem $45^{\circ }$ . O produto vale $+a^2$ .
• (C) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}=0$ — é a opção de quem troca $G$ por $D$ ou por $B$ , isto é, de quem toma $\overrightarrow{AG}$ por uma aresta concorrente com $[AH]$ em vez de uma diagonal de face. $\overrightarrow{AG}$ não é aresta nenhuma: é $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}$ .
• (D) $\overrightarrow{FC}\cdot \overrightarrow{AD}>0$ — vem de esquecer o cosseno e calcular só $\Vert \overrightarrow{FC}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AD}\Vert =a^2$ , que é de facto positivo. O produto escalar traz sempre o fator $\cos \theta$ , e aqui $\theta =90^{\circ }$ anula tudo.

confirmar com as coordenadas do item 8.2

Se já fizeste o item 8.2, sabes que $B(0,-1,4)$ e que a aresta mede $7$ . Então $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}=7^2=49>0$ , positivo como previsto, e $\overrightarrow{FC}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ , porque $[AH]\perp [AD]$ . Os dois cálculos batem certo com a leitura geométrica.

onde é que isto se perde

• Ler mal a figura. Trocar quem está ligado a quem estraga o item inteiro. Antes de qualquer conta, identifica as duas faces opostas e as quatro arestas que as ligam — aqui, $[AH]$ , $[BG]$ , $[CF]$ e $[DE]$ .
• Confundir $\overrightarrow{FC}$ com $\overrightarrow{CF}$ . Neste item não muda a resposta (o produto é zero nos dois sentidos), mas noutro item de sinal muda tudo. Lê sempre a ordem das letras: $\overrightarrow{FC}$ vai de $F$ para $C$ .
• Achar que uma diagonal de face é perpendicular ao lado. Faz $45^{\circ }$ , não $90^{\circ }$ . A diagonal só é perpendicular ao outro lado se o quadrado for outro.
• Esquecer o cosseno. Produto escalar não é produto de comprimentos: é produto de comprimentos vezes o cosseno do ângulo.