Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 5, resolvido

1.º — o que governa o item: duas condições, duas posições fixas

O enunciado impõe três coisas ao mesmo tempo, e cada uma prende uma parte do número:

• cinco algarismos diferentes — não há repetições, logo cada algarismo usado sai da lista dos disponíveis;
• múltiplo de $5$ — prende o algarismo das unidades: tem de ser $0$ ou $5$;
• maior do que $50000$ — prende o algarismo das dezenas de milhares (o primeiro): tem de ser $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$.

Repara que $50000$ tem algarismos repetidos, portanto não é um dos números em causa: todo o número de cinco algarismos diferentes começado por $5$ ou mais é automaticamente maior do que $50000$. Não há caso de fronteira para tratar à parte.

Estas duas primeiras leituras — $0$ ou $5$ nas unidades, e $5$ a $9$ à cabeça — são etapas pontuadas por si, $2$ pontos cada, mesmo antes de qualquer conta. Escreve-as explicitamente.

2.º — porque é que se separa em dois casos

As duas posições fixas interferem uma com a outra: o $5$ pode ocupar qualquer das duas, mas não as duas ao mesmo tempo, porque os algarismos são diferentes. Enquanto não decidires o algarismo das unidades, não sabes quantas hipóteses restam à cabeça.

É isso — e só isso — que obriga a separar em dois casos disjuntos: unidades $=0$ e unidades $=5$. Sendo disjuntos, no fim somam-se.

3.º — caso 1 — o número termina em $0$

O $0$ está nas unidades. Para as dezenas de milhares sobram as cinco hipóteses da condição: $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$ (o $0$ já foi usado e, de qualquer modo, um número não começa por $0$).

Para as três posições do meio — milhares, centenas e dezenas — restam $10-2=8$ algarismos, e a ordem importa (o $123$ do meio não é o $321$). São arranjos simples de $8$ elementos tomados $3$ a $3$:

Pela regra do produto, o caso 1 dá

Esta etapa vale $5$ pontos — é a mais pesada do item.

4.º — caso 2 — o número termina em $5$

Agora o $5$ está ocupado nas unidades, por isso já não pode estar à cabeça. Das cinco hipóteses iniciais sobram quatro: $6$, $7$, $8$ ou $9$.

Para as três posições do meio continuam a restar $10-2=8$ algarismos, logo outra vez ${}^8{A}_3=336$:

É aqui que a maioria dos erros nasce: quem copia o $5$ do caso anterior escreve $5\times 336$ e obtém $1680$ outra vez, esquecendo que o $5$ já está gasto.

5.º — somar os dois casos

Os dois casos não têm números em comum (um termina em $0$, o outro em $5$), portanto somam-se:

a conta faz sentido?

Sem qualquer restrição de paridade, os números de cinco algarismos diferentes começados por $5$ a $9$ são $5\times 9\times 8\times 7\times 6=15120$. Dos dez algarismos possíveis para as unidades, só dois servem, e $\frac{2}{10}\times 15120=3024$. Bate certo — e a coincidência não é acaso: as duas restrições quase não se estorvam, e o pequeno desconto do caso 2 é compensado por sobrar mais escolha à cabeça no caso 1.

contar tudo de uma vez, pelas unidades

Podes organizar a contagem começando pelas unidades e depois pela cabeça, que é o que fiz, ou fixar primeiro a cabeça e depois as unidades. Se fixares a cabeça, tens de separar em cabeça $=5$ (então as unidades só podem ser $0$: $1\times {}^8{A}_3=336$) e cabeça $\in \{6,7,8,9\}$ (as unidades podem ser $0$ ou $5$: $4\times 2\times {}^8{A}_3=2688$). Soma: $336+2688=3024$. Mesmo resultado, e serve de confirmação.

o que se escreve na folha

Não é pedida aproximação, logo o resultado é exacto: $3024$. Justifica cada factor — de onde vêm o $5$, o $4$ e o ${}^8{A}_3$ — porque os critérios pontuam o reconhecimento das condições, não só o número final.

onde se perdem pontos

• Usar $5$ hipóteses à cabeça também no caso das unidades $=5$. É o erro clássico: dá $3360$ em vez de $3024$.
• Trocar arranjos por combinações no meio do número. As três posições são ordenadas: ${}^8{A}_3=336$, não ${}^8{C}_3=56$.
• Contar $9$ algarismos para o meio. Já foram gastos dois (as unidades e a cabeça), sobram $8$.
• Multiplicar os dois casos em vez de os somar. São alternativas, não etapas de uma mesma escolha.
• Escrever só o $3024$. Sem as duas primeiras leituras e sem as duas contagens explicadas perdes até $13$ dos $14$ pontos: o valor final vale $1$ ponto.
• Incluir o $50000$ ou tentar excluí-lo com um caso extra. Tem algarismos repetidos, já está fora à partida.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que duas restrições prendem posições diferentes mas disputam o mesmo algarismo, a contagem parte-se em casos por esse algarismo. Aqui o $5$ serve para as unidades e para a cabeça, e é ele que manda separar. Se as restrições não partilhassem nenhum símbolo, bastava multiplicar tudo de seguida.