Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 8.2, resolvido

O volume de um cubo é $a^3$ , onde $a$ é a aresta. Todo o item se resume a uma pergunta: quanto mede a aresta? E a informação que tens é estranha à primeira vista — um vértice em coordenadas e uma equação de um plano. A ponte entre as duas é esta: o plano $BCF$ contém uma face do cubo, e o ponto $A$ não lhe pertence; logo a distância de $A$ a esse plano é exatamente a aresta.

perceber que $BCF$ é uma face e que $A$ está na face oposta

Os pontos $B$ , $C$ e $F$ são vértices do cubo. Pela leitura da Figura 1, a face $[ABCD]$ e a face $[EFGH]$ são opostas, e as arestas que as ligam são $[AH]$ , $[BG]$ , $[CF]$ e $[DE]$ . Então $B$ , $C$ , $F$ e $G$ estão todos na mesma face: o plano $BCF$ é o plano da face $[BCFG]$ .

O vértice $A$ está na face oposta, $[ADEH]$ , e a aresta $[AB]$ liga uma face à outra. Duas faces opostas de um cubo são paralelas, e a aresta que as une é perpendicular a ambas. Por isso:

Verifica primeiro que $A$ não pertence ao plano, senão nada disto se aplica: substituindo $A(-3,5,2)$ na equação, $-3\times (-3)+6\times 5-2\times 2+14=9+30-4+14=49\ne 0$ .

1.º — escrever a reta $AB$

Numa equação cartesiana $-3x+6y-2z+14=0$ , os coeficientes de $x$ , $y$ e $z$ são as coordenadas de um vetor normal ao plano:

E é aqui que a perpendicularidade paga: se a reta $AB$ é perpendicular ao plano, então $\vec{n}$ é um vetor diretor da reta $AB$ . Com o ponto $A(-3,5,2)$ , a equação vetorial é

Um ponto genérico desta reta tem coordenadas $(-3-3k,5+6k,2-2k)$ . Estas duas etapas são pontuadas por si: a equação vetorial vale $2$ pontos e o ponto genérico vale outros $2$ .

2.º — encontrar $B$ como intersecção da reta com o plano

O ponto $B$ é o pé da perpendicular: é o ponto onde a reta $AB$ fura o plano $BCF$ . Substitui as coordenadas do ponto genérico na equação do plano e resolve em ordem a $k$ :

Repara no cuidado com os sinais: $-3\times (-3k)=+9k$ e $-2\times (-2k)=+4k$ . É aqui que se perdem pontos por distração.

Com $k=-1$ :

3.º — a aresta e o volume

A aresta do cubo é $\overline{AB}$ , a distância entre $A(-3,5,2)$ e $B(0,-1,4)$ :

O radicando dá $49$ , um quadrado perfeito — é o sinal de que o exame foi desenhado para se fazer sem calculadora. E o volume:

pela fórmula da distância de um ponto a um plano

Há um caminho mais curto, que dá o mesmo e serve de conferência. A distância de um ponto $P(x_0,y_0,z_0)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é

Com $A(-3,5,2)$ e o plano $-3x+6y-2z+14=0$ :

Mesma aresta, mesmo volume $343$ . Atenção: os critérios do IAVE descrevem o processo da reta e do ponto $B$ . Este caminho é legítimo, mas se o usares escreve com clareza porque é que essa distância é a aresta — que a reta $AB$ é perpendicular ao plano e que $A$ está na face oposta.

como apresentar o resultado

O valor pedido é o volume, um número puro: $343$ . Não há unidades no enunciado, portanto não inventes nenhuma. E não deixes a resposta em ${\sqrt{49}}^3$ nem em $7^3$ — o último ponto é por obter o valor pedido.

o número faz sentido?

$B(0,-1,4)$ deve pertencer ao plano $BCF$ : $-3\times 0+6\times (-1)-2\times 4+14=0-6-8+14=0$ . Pertence. E olha para a Figura 1: $B$ aparece praticamente encostado ao eixo $Oz$ e acima da origem — bate certo com $(0,-1,4)$ .

onde é que isto se perde

• Não justificar a perpendicularidade. Usar $\vec{n}$ como vetor diretor da reta $AB$ sem dizer que a reta é perpendicular ao plano custa os $2$ primeiros pontos, mesmo com o $343$ certo no fim.
• Sinais na substituição. $-3(-3-3k)$ tem de dar $9+9k$ . Trocar um sinal dá um $k$ errado e um ponto $B$ errado, e a partir daí perde-se tudo o que vem a jusante.
• Parar em $\overline{AB}=7$ . O item pede o volume, não a aresta. É um erro de leitura que custa o ponto final.
• Elevar ao quadrado em vez de ao cubo. $7^2=49$ é a área de uma face, não o volume. O cubo tem $a^3$ .
• Pegar na calculadora. O item proíbe-a expressamente. Todos os números foram escolhidos para sair à mão: $\sqrt{49}=7$ e $7^3=343$ .