Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 2.1, resolvido

O item pergunta pelas concavidades e pelos pontos de inflexão do gráfico de $f$ . Quem governa as duas coisas é a segunda derivada: onde $f^{\prime \prime }>0$ a concavidade está voltada para cima, onde $f^{\prime \prime }<0$ está voltada para baixo, e um ponto de inflexão é onde $f^{\prime \prime }$ muda de sinal.

Repara no presente que o enunciado te dá: não te dá $f$ — dá-te $f^{\prime }$ . Estás a uma derivada da resposta, não a duas. E o domínio é ${\mathbb{R}}^{+}$ , o que vai simplificar muito o estudo do sinal.

o que está escrito, com cuidado

É um quociente: em cima $1+2\ln x$ , em baixo $x$ . Vais precisar da regra do quociente ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ e de $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ .

1.º — derivar $f^{\prime }$ para obter $f^{\prime \prime }$

Com $u=1+2\ln x$ e $v=x$ , tens $u^{\prime }=\frac{2}{x}$ e $v^{\prime }=1$ :

O numerador simplifica-se muito: $\frac{2}{x}\times x=2$ , e a seguir $2-1-2\ln x=1-2\ln x$ .

Esta etapa vale 3 pontos por si. E o critério é generoso na intenção: se for evidente que estavas a derivar $f^{\prime }$ , mesmo que erres a conta, a etapa não vale zero — vale pelo menos 1 ponto.

2.º — escrever a equação $f^{\prime \prime }(x)=0$

Escrever a equação é, sozinho, 1 ponto no critério. Não a saltes mentalmente.

Uma fração é nula quando o numerador é nulo e o denominador não. Aqui o denominador $x^2$ nunca é nulo, porque $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ — a condição sobre o denominador é universal no domínio, e é isso que deves dizer em vez de a ignorar.

3.º — resolver e encontrar o zero

A passagem de $\ln x=\frac{1}{2}$ para $x=e^{\frac{1}{2}}$ é a definição de logaritmo natural: $\ln x=k⟺x=e^k$ . E $e^{\frac{1}{2}}$ escreve-se $\sqrt{e}$ — as duas formas são aceites, mas é mais legível a segunda.

Este zero vale 3 pontos. E é o único: a função $\ln$ é injectiva, logo $\ln x=\frac{1}{2}$ tem uma e uma só solução.

4.º — o quadro de sinal

Ter o zero não chega. O zero diz onde pode haver mudança de concavidade; não diz qual é o sentido de cada lado. O quadro de sinal é uma etapa pontuada por si — e é a mais cara do item: 4 pontos.

O truque que torna isto rápido: em ${\mathbb{R}}^{+}$ tem-se sempre $x^2>0$ , logo o sinal de $f^{\prime \prime }$ é exactamente o sinal de $1-2\ln x$ . Não precisas de estudar o denominador caso a caso — precisas de dizer que ele é sempre positivo.

E $1-2\ln x>0⟺\ln x<\frac{1}{2}⟺x<\sqrt{e}$ (o sentido da desigualdade inverte-se ao dividir por $-2$, e mantém-se ao aplicar a exponencial, que é crescente).

O «n.d.» na coluna do $0$ não é um pormenor: $0$ não pertence ao domínio, e por isso o intervalo da esquerda é aberto em $0$ .

5.º — ler as três respostas pedidas

Concavidade voltada para cima (onde $f^{\prime \prime }>0$): $\left]0,\sqrt{e}\right]$ .

Concavidade voltada para baixo (onde $f^{\prime \prime }<0$): $\left[\sqrt{e},+\infty \right[$ .

Abcissa do ponto de inflexão: $\sqrt{e}$ — e é ponto de inflexão porque $f^{\prime \prime }$ muda mesmo de sinal ali, de $+$ para $-$ . Dizer só que $f^{\prime \prime }(\sqrt{e})=0$ não prova nada.

Apresentar os dois intervalos vale 2 pontos; apresentar a abcissa da inflexão vale 1 ponto.

fechado ou aberto no $\sqrt{e}$ ?

O critério resolve esta dúvida por ti: se escreveres $\left]0,\sqrt{e}\right[$ em vez de $\left]0,\sqrt{e}\right]$ , e $\left]\sqrt{e},+\infty \right[$ em vez de $\left[\sqrt{e},+\infty \right[$ , a etapa conta-se como cumprida na mesma. As duas escritas valem.

O que não vale é incluir o $0$ : $0\notin {\mathbb{R}}^{+}$ , logo o intervalo é obrigatoriamente aberto à esquerda.

o zero cai onde deve

$\sqrt{e}\approx 1,65$ , portanto está mesmo dentro de ${\mathbb{R}}^{+}$ . E podes testar um ponto de cada lado: em $x=1$ tens $\ln 1=0$ e $f^{\prime \prime }(1)=\frac{1-0}{1}=1>0$ (concavidade para cima, confere); em $x=e$ tens $\ln e=1$ e $f^{\prime \prime }(e)=\frac{1-2}{e^2}=-\frac{1}{e^2}<0$ (para baixo, confere).

onde é que se perdem pontos

• Estudar o sinal de $f^{\prime }$ em vez do de $f^{\prime \prime }$. É o erro mais caro, porque responde a outra pergunta: o sinal de $f^{\prime }$ dá monotonia, não concavidade. Aqui o convite é forte, porque o enunciado já te entrega $f^{\prime }$ pronto a estudar.
• Derivar $f$ em vez de $f^{\prime }$. Não conheces $f$ . Quem tenta «primitivar» perde o item inteiro.
• Errar a regra do quociente, tipicamente escrevendo $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ no numerador ou esquecendo o $v^2$ .
• Não simplificar $\frac{2}{x}\times x$ e arrastar a fração dentro da fração até ao fim — não é erro, mas é onde nascem os enganos de sinal.
• Extrair a raiz de $\ln x=\frac{1}{2}$ e escrever $x=\frac{1}{2}$ , esquecendo a exponencial.
• Saltar o quadro de sinal e ir directo às conclusões. São 4 pontos que se perdem mesmo com os intervalos certos: sem quadro não mostraste porquê.
• Incluir o $0$ no intervalo ou apresentar os intervalos em $\mathbb{R}$ em vez de ${\mathbb{R}}^{+}$ .
• Concluir ponto de inflexão só porque $f^{\prime \prime }=0$ , sem invocar a mudança de sinal.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Concavidades» e «pontos de inflexão» são sempre o mesmo percurso: $f^{\prime \prime }\to$ zeros de $f^{\prime \prime }\to$ quadro de sinal $\to$ conclusões. E fixa dois atalhos que aparecem quase sempre: quando o denominador é uma potência par, ele não muda o sinal e podes estudar só o numerador; e quando te dão $f^{\prime }$ (e não $f$), derivas uma vez, não duas.