Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 6, resolvido

nomeia os acontecimentos antes de escrever uma única probabilidade

Este item dá-te informação em palavras e pede-te uma probabilidade em símbolos. A tradução é metade do trabalho — e nos critérios vale pontos por si. Segue a notação dos critérios:

• $A$: «o número inscrito no cartão é par»;
• $M$: «o número inscrito no cartão é múltiplo de três».

Repara já numa coisa que vai ser decisiva: o enunciado fala de ímpar, e ímpar é $\overline{A}$ — o contrário de par. Não há acontecimento novo a inventar.

1.º — traduzir os dois dados

«$62,5\%$ são múltiplos de três» é a probabilidade simples

«um terço dos que não são múltiplos de três são pares» é uma probabilidade condicionada: o universo já não é a caixa toda, é só a parte $\overline{M}$ .

Reconhecer esta segunda como condicionada vale $2$ pontos, e é o passo onde mais gente se engana: quem escreve $P(A)=\frac{1}{3}$ perde o item inteiro, porque afirma que um terço de todos os cartões é par.

2.º — tirar as duas probabilidades que faltam

Do complementar:

E da definição de probabilidade condicionada, $P(A\mid \overline{M})=\frac{P(A\cap \overline{M})}{P(\overline{M})}$ , tirando o produto:

Em palavras: $12,5\%$ dos cartões têm um número par que não é múltiplo de três. Guarda esta frase — é a chave de todo o problema.

3.º — escrever o que é pedido em símbolos

«múltiplo de três ou ímpar» é uma reunião, e ímpar é $\overline{A}$ :

Esta identificação vale $2$ pontos. Escreve-a explicitamente, mesmo que o resto te corra mal.

4.º — a fórmula da reunião, e porque é que o que não sabes desaparece

Olha para o que tens: $P(M)$, $P(\overline{M})$ e $P(A\cap \overline{M})$. Nunca vais saber $P(A)$ — o enunciado não diz que fracção dos cartões é par. Parece um beco sem saída, mas não é: o $P(A)$ cancela-se.

Parte da fórmula da probabilidade da reunião:

Substitui $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$ e, por decomposição de $M$ nas partes par e ímpar, $P\left(M\cap \overline{A}\right)=P(M)-P(M\cap A)$ :

Vê o que aconteceu: o $P(M)$ saiu das contas. Falta reconhecer que $P(A)-P(M\cap A)$ é exactamente a parte par que fica fora de $M$ :

Logo

pelas leis de De Morgan (o 2.º processo dos critérios)

Há um caminho mais curto, e vale os mesmos $14$ pontos. Pergunta-te quem fica de fora de «múltiplo de três ou ímpar»: só os cartões que não são múltiplos de três e são pares. Em símbolos, é o que as leis de De Morgan dizem:

Ora $P\left(\overline{M}\cap A\right)$ é precisamente o $0,125$ que já tinhas. Então

É o mesmo número por um caminho de três linhas. Se reconheceres a passagem pelo complementar, usa-a — nos critérios ela vale $4$ pontos de uma só vez.

monta a tabela e confere

Reparte a caixa em quatro pedaços, que têm de somar $1$ :

O único pedaço que não entra em «múltiplo de três ou ímpar» é a célula $0,125$ — os pares que não são múltiplos de três. Tudo o resto conta. Logo a probabilidade pedida é $1-0,125=0,875$, e nem sequer precisas de saber quanto vale cada uma das duas células com interrogação. Esta tabela é a melhor forma de conferires o resultado em vinte segundos.

fração irredutível, como o enunciado manda

O enunciado pede o resultado na forma de fração irredutível, portanto $0,875$ não é resposta final:

Confirma que é irredutível: $7$ é primo e não divide $8$.

onde se perdem pontos

• Ler «um terço dos que não são múltiplos de três são pares» como $P(A)=\frac{1}{3}$. É condicionada; o universo é $\overline{M}$, não a caixa toda.
• Escrever $P(A\cap \overline{M})=\frac{1}{3}$ sem multiplicar por $P(\overline{M})$. Faltam os $0,375$.
• Traduzir «ímpar» como um acontecimento novo em vez de $\overline{A}$ — e ficar sem forma de o ligar aos dados.
• Somar $P(M)+P(\overline{A})$ sem subtrair a interseção. Os dois acontecimentos não são incompatíveis: há múltiplos de três que são ímpares.
• Desistir por não conhecer $P(A)$. Ele cancela-se; e pelo complementar nem chega a aparecer.
• Parar em $0,875$ ou entregar $\frac{875}{1000}$. A forma pedida é a fração irredutível, $\frac{7}{8}$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando a reunião pedida cobre quase tudo, conta o que fica de fora. «$M$ ou $\overline{A}$» exclui apenas «$\overline{M}$ e $A$», e é quase sempre esse pedaço que o enunciado te deu de bandeja. A pergunta a fazer, antes de qualquer fórmula, é: que cartões é que esta condição rejeita?