Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 13.(AE2018), resolvido

O que governa este item é uma ideia de contagem, não de cálculo: $f$ é periódica, e num período tem sempre o mesmo número de zeros. Se souberes quantos zeros há num período e onde está o último deles, sabes responder a qualquer pergunta sobre «quantos zeros até $a$ ».

E há um segundo cuidado, que é onde este item apanha quase toda a gente: o domínio é $[0,a]$ — fechado em $a$ . Logo, o próprio $a$ conta como ponto do domínio, e o menor $a$ que dá exactamente vinte zeros é o vigésimo zero em pessoa, não um valor qualquer depois dele.

⚠️ O enunciado proíbe a calculadora. Todos os valores têm de sair do círculo trigonométrico e dos valores notáveis.

pôr $f$ em forma de produto

$f(x)=\mathrm{sen}(2x)+\cos x$ é uma soma de duas coisas, e uma soma não se anula por partes — não podes igualar cada parcela a zero. Precisas de a transformar num produto, porque um produto é nulo exactamente quando um dos factores é nulo.

O que permite a transformação é a fórmula do seno do ângulo duplo:

É esta a chave do item, e é também a primeira etapa pontuada. Repara no porquê: ela faz aparecer um $\cos x$ na primeira parcela, que é exactamente o que já está na segunda — e um factor comum é tudo o que precisas.

1.º — resolver a equação $f(x)=0$

Agora sim, lei do anulamento do produto:

Ficas com duas equações trigonométricas elementares. É importante que escrevas as duas: quem só resolve uma delas perde metade dos zeros e a contagem toda fica errada.

2.º — contar os zeros num período

Escolhe o intervalo $[0,2\pi [$ — um período completo, e fechado só à esquerda, para não contares duas vezes o mesmo zero quando encaixares os períodos uns a seguir aos outros.

$\cos x=0$ . No círculo trigonométrico, o cosseno é a abcissa; anula-se nos dois pontos do eixo vertical:

$\mathrm{sen}x=-\frac{1}{2}$ . O seno é a ordenada; é negativo no terceiro e no quarto quadrantes. O ângulo de referência é $\frac{\pi }{6}$ , porque $\mathrm{sen}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ . Logo:

Os quatro zeros em $[0,2\pi [$ são, por ordem crescente,

e são todos distintos — quatro zeros por período, sendo $\frac{11\pi }{6}$ o maior.

3.º — justificar que o padrão se repete

Não basta contar num período: tens de dizer porquê é que o resto da recta se comporta da mesma maneira. A razão é a periodicidade de $f$ :

• $\mathrm{sen}(2x)$ tem período $\frac{2\pi }{2}=\pi$ ;
• $\cos x$ tem período $2\pi$ ;
• a soma é periódica de período $2\pi$ , que é o menor múltiplo comum dos dois.

Logo, para todo o $x$ , $f(x+2\pi )=f(x)$ , e cada intervalo da forma $[2k\pi ,2(k+1)\pi [$ contém exactamente os mesmos quatro zeros deslocados de $2k\pi$ .

4.º — chegar aos vinte zeros

Quatro zeros por período, e queres vinte:

No intervalo $[0,10\pi [$ há exactamente vinte zeros de $f$ .

5.º — identificar o vigésimo zero — e é aqui que se responde

O vigésimo zero é o maior zero de $[0,10\pi [$ , ou seja, o maior zero do último período. Como no primeiro período o maior é $\frac{11\pi }{6}$ , no quinto período é esse mesmo valor deslocado de quatro períodos completos:

Porque é que este é o *menor* $a$ possível? Porque o domínio $[0,a]$ inclui $a$ . Se tomasses $a$ um pouco menor que $\frac{59\pi }{6}$ , o vigésimo zero ficava de fora e só tinhas dezanove; com $a=\frac{59\pi }{6}$ , tens exactamente vinte — e é o primeiro valor onde isso acontece.

sem o ângulo duplo, por igualdade de senos

Os critérios admitem um segundo caminho para a primeira etapa, que não passa pela factorização. Começas por escrever o cosseno como um seno, usando $\mathrm{sen}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ :

Dois senos são iguais quando os ângulos são côngruos ou suplementares:

(o segundo ramo vem de $\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{2}-x$ ). Resolvendo:

Em $[0,2\pi [$ , a primeira família dá $\frac{3\pi }{2}$ (com $k=1$ ) e a segunda dá $\frac{\pi }{2}$ , $\frac{7\pi }{6}$ e $\frac{11\pi }{6}$ (com $k=0,1,2$ ) — os mesmos quatro zeros. Daqui para a frente, a resolução é igual.

confere que o valor faz sentido

$\frac{59\pi }{6}\approx 9,83\pi$ , portanto $a<10\pi$ — tem de ser, porque o vigésimo zero está dentro de $[0,10\pi [$ . ✓

E o vigésimo primeiro zero? É o primeiro do período seguinte: $\frac{\pi }{2}+10\pi =\frac{61\pi }{6}$ , que é maior que $\frac{59\pi }{6}$ . Ou seja, em $\left[0,\frac{59\pi }{6}\right]$ há mesmo vinte zeros e nem um a mais. ✓

como se apresenta o resultado

O valor pedido é exacto: $\frac{59\pi }{6}$ . Não o converter para decimal (nem sequer para $9,83\pi$ ), e não deixar a fracção por reduzir, como $\frac{11\pi }{6}+8\pi$ — soma-se e apresenta-se uma fracção só, irredutível ( $59$ é primo, logo $\frac{59\pi }{6}$ já está na forma final).

onde é que este item se perde

Usar a calculadora. O enunciado proíbe-a explicitamente. Segundo os critérios gerais, numa resolução que não respeite a instrução dada, a etapa em que a instrução não é respeitada e todas as etapas que dela dependam são pontuadas com zero pontos. Não é uma desvalorização de um ponto — é o item inteiro a cair.

Tentar anular parcela a parcela. Escrever «$\mathrm{sen}(2x)=0\vee \cos x=0$ » a partir de uma soma é um erro de conceito, não de conta. A lei do anulamento é do produto.

Perder uma das duas famílias de soluções. Muito frequente com $\mathrm{sen}x=-\frac{1}{2}$ : quem se lembra só de $\frac{7\pi }{6}$ e esquece $\frac{11\pi }{6}$ (ou vice-versa) conta três zeros por período em vez de quatro, e o resto todo vai atrás.

Contar num intervalo fechado nas duas pontas. Se contares os zeros em $[0,2\pi ]$ em vez de $[0,2\pi [$ , corres o risco de somar zeros de fronteira duas vezes quando encaixas os períodos. Trabalha sempre com $[0,2\pi [$ .

Responder $a=10\pi$ . É o erro mais tentador: $10\pi$ é o fim dos cinco períodos, e é verdade que em $[0,10\pi ]$ há vinte zeros — mas não é o menor valor com essa propriedade. O enunciado pede o menor, e o menor é o próprio vigésimo zero, $\frac{59\pi }{6}$ .

Não justificar a periodicidade. «Tem quatro zeros por período» é uma afirmação que tem de ser sustentada; sem isso, os critérios pontuam a zero a etapa da justificação (2 pontos) e o salto de $[0,2\pi [$ para $[0,10\pi [$ fica sem apoio.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que vires «determine o menor $a$ para o qual a função tem exactamente $n$ zeros em $[0,a]$ », o plano é este, por esta ordem: (1) transformar a expressão num produto e resolver $f(x)=0$ ; (2) contar os zeros num período e identificar o maior; (3) dividir $n$ pelo número de zeros por período para saber quantos períodos precisas; (4) somar ao maior zero do primeiro período o número de períodos inteiros que ficam para trás. E antes de fechar, olha para os parênteses do domínio: em $[0,a]$ a resposta é o $n$ -ésimo zero; em $[0,a[$ , já teria de ser um valor imediatamente a seguir a ele, e a pergunta não teria mínimo.