Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 9.(AE2018), resolvido

É um item de «mostre que» com identidades trigonométricas. O que governa é uma escolha de método: parte-se de um dos membros e transforma-se até chegar ao outro. Aqui o membro esquerdo é o complicado, portanto é dele que se parte. Nunca trabalhes a igualdade inteira como se já fosse verdadeira — isso não é demonstração.

três ferramentas, e nenhuma mais

Olha para o que aparece no enunciado e faz o inventário do que vais precisar:

• a redução ao primeiro quadrante (ou a fórmula do seno da soma), para tratar $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$;
• a fórmula fundamental da trigonometria, ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$;
• a fórmula do seno da soma outra vez, para reconhecer $\mathrm{sen}(2x)$.

As duas últimas estão no formulário da prova. A primeira também sai de lá, com $a=\frac{\pi }{2}$ e $b=x$.

1.º — simplificar $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

Pelo formulário, $\mathrm{sen}(a+b)=\mathrm{sen}a\cos b+\mathrm{sen}b\cos a$. Com $a=\frac{\pi }{2}$:

Podes também ler isto directamente no círculo trigonométrico: rodar um ângulo de $\frac{\pi }{2}$ troca o seno pelo cosseno. Esta etapa vale $3$ pontos por si — é a que desbloqueia o item.

O membro esquerdo passa a ser $1-{\left(\cos x-\mathrm{sen}x\right)}^2$.

2.º — desenvolver o quadrado

É o quadrado de uma diferença, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, com $a=\cos x$ e $b=\mathrm{sen}x$:

Vale $3$ pontos. Não saltes este desenvolvimento, mesmo que o vejas de cabeça: é uma etapa pontuada por si.

3.º — usar a fórmula fundamental

Repara no que ficou: ${\cos }^{2}x$ e ${\mathrm{sen}}^{2}x$ estão os dois presentes, e podem juntar-se. É por isso que o quadrado se desenvolve — não é manipulação cega, é para fazer aparecer a soma ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x$, que vale $1$:

Vale mais $3$ pontos.

4.º — fechar o membro esquerdo

Cuidado com o sinal: o parêntesis inteiro é subtraído, por isso o $-2\mathrm{sen}x\cos x$ muda para $+2\mathrm{sen}x\cos x$. É o erro de distração mais frequente deste item.

5.º — reconhecer $\mathrm{sen}(2x)$

Pela fórmula do seno da soma, com $a=b=x$:

Logo $1-{\left(\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}+x\right)-\mathrm{sen}x\right)}^2=\mathrm{sen}(2x)$, para qualquer $x\in \mathbb{R}$, como se pretendia mostrar. Dizer isto vale os últimos $3$ pontos.

testa um valor

Um teste não demonstra nada, mas apanha erros de sinal. Com $x=\frac{\pi }{4}$: à esquerda, $\mathrm{sen}\left(\frac{3\pi }{4}\right)-\mathrm{sen}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$, logo o membro esquerdo vale $1-0=1$. À direita, $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Batem.

onde este item come pontos

• Escrever $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\cos x$ ou $=\mathrm{sen}x$. O sinal e a função certos valem $3$ pontos, e um erro aqui derruba tudo o resto.
• Perder o sinal ao tirar o parêntesis em $1-\left(1-2\mathrm{sen}x\cos x\right)$, ficando com $-2\mathrm{sen}x\cos x$.
• Trabalhar os dois membros ao mesmo tempo, partindo da igualdade a demonstrar como se já fosse verdadeira. Se o fizeres, tens de justificar que todos os passos são equivalências — mais seguro é transformar um membro de cada vez.
• Escrever $\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}x$. Não existe: $\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}x\cos x$.
• Não concluir. Chegar a $2\mathrm{sen}x\cos x$ e parar deixa $3$ pontos em cima da mesa: falta dizer que isso é $\mathrm{sen}(2x)$ e que a igualdade fica provada para todo o $x\in \mathbb{R}$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando vires um quadrado de uma soma ou diferença de seno e cosseno dentro de uma identidade, desenvolve-o sempre: o desenvolvimento faz aparecer ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x$ (que vale $1$) e $2\mathrm{sen}x\cos x$ (que é $\mathrm{sen}(2x)$). São essas duas peças que quase todas as identidades deste tipo escondem.