Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 5.(AE2018), resolvido

A definição que governa o item: uma sucessão $(u_n)$ é monótona decrescente quando

A palavra todo é a chave: um único par de termos que suba já chega para destruir a monotonia. Por isso, para eliminar uma opção não precisas de estudar a sucessão inteira — basta um contraexemplo.

1.º — (A) $n^2-4n$ — dois termos chegam

Calcula os primeiros termos:

De $u_1$ para $u_2$ desce, mas de $u_2$ para $u_3$ sobe ($-4<-3$ ). Como $u_3>u_2$ , a sucessão não é monótona, nem decrescente nem crescente.

Era de esperar: é uma parábola de concavidade voltada para cima com vértice em $n=2$ , logo desce até ao vértice e sobe daí em diante.

2.º — (B) $2n+3$ — progressão aritmética de razão positiva

A diferença entre termos consecutivos é constante e positiva: é uma progressão aritmética de razão $2$ , portanto monótona crescente. Os seus termos são $5,7,9,11,\dots$

3.º — (C) e (D) — progressões geométricas de termos positivos

As duas últimas opções são progressões geométricas de razão $r$ e primeiro termo $u_1=r$ , ambos positivos. Com todos os termos positivos, o sentido da monotonia lê-se directamente no quociente:

• se $r>1$ , cada termo é maior do que o anterior $\Rightarrow$ crescente;
• se $0<r<1$ , cada termo é menor do que o anterior $\Rightarrow$ decrescente.

(C) tem razão $r=\frac{3}{2}>1$ , logo é crescente: $\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{27}{8},\dots$

(D) tem razão $r=\frac{2}{3}$ , com $0<\frac{2}{3}<1$ , logo é decrescente: $\frac{2}{3},\frac{4}{9},\frac{8}{27},\dots$ — os termos são sempre positivos e aproximam-se de zero.

a opção

A única sucessão monótona decrescente é a da opção (D).

de onde vem cada opção errada

• (A) $n^2-4n$ — apanha quem olha só para os dois primeiros termos ($-3$ e $-4$ ) e conclui «desce» sem verificar mais nenhum. É o erro clássico de generalizar a partir de um caso.
• (B) $2n+3$ — apanha quem confunde razão negativa com coeficiente qualquer, ou quem vê o sinal de menos em lado nenhum e responde ao calhas. A razão é $+2$ : cresce.
• (C) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ — é o distrator mais forte. Apanha quem se lembra da regra «razão entre $0$ e $1$ $\Rightarrow$ decrescente» mas inverte a fração, ou quem pensa que basta a base ser um número «pequeno». $\frac{3}{2}=1,5>1$ : cresce, e depressa.

um segundo de bom senso

Escreve mentalmente os três primeiros termos da opção que escolheste e vê se descem mesmo: $\frac{2}{3}\approx 0,67$ , $\frac{4}{9}\approx 0,44$ , $\frac{8}{27}\approx 0,30$ . Descem. Faz o mesmo com a (C): $1,5$ , $2,25$ , $3,375$ . Sobem.

onde é que se perde este item

• Inverter a razão e trocar $\frac{3}{2}$ com $\frac{2}{3}$ — é exactamente a armadilha montada pelas opções (C) e (D), que são uma o inverso da outra.
• Concluir a monotonia a partir de dois termos , como em (A).
• Esquecer que a regra do quociente exige termos positivos. Se os termos alternassem de sinal, $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ não significaria decrescente. Aqui não há problema porque todos os termos são positivos, mas convém saberes porquê.
• Confundir «decrescente» com «convergente para zero» ou com «limitada». São propriedades diferentes; a (D) é as três, mas há sucessões decrescentes que não tendem para zero.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Para decidir monotonia tens três ferramentas, e escolhe-se pela forma do termo geral: diferença $u_{n+1}-u_n$ (bom para polinómios e progressões aritméticas), quociente $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (bom para progressões geométricas de termos positivos) e contraexemplo com os primeiros termos (o mais rápido para eliminar). Numa escolha múltipla, começa sempre pelo contraexemplo.