Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 1, resolvido

O ponto de partida. Este item vive de um único limite notável, aquele que define o número $e$:

Repara bem na forma dele: o mesmo $n$ aparece em dois sítios — no denominador da fração e no expoente. Sempre que encontrares uma potência em que a base tende para $1$ e o expoente tende para $+\infty$, o teu trabalho é feitiar a expressão até ela ficar exatamente com esta forma.

1.º — identificar a indeterminação

Antes de mexer em nada, vê o que acontece se substituíres ingenuamente:

• a base: $1+\frac{1}{n}\to 1+0=1$ ;
• o expoente: $3n\to +\infty$ .

Ou seja, estás perante a indeterminação $1^{\infty }$ .

Isto não é um pormenor decorativo. É frequente o aluno raciocinar «um elevado a seja o que for dá um» e responder $1$. Esse raciocínio é falso porque a base não é $1$ — é um número ligeiramente maior do que $1$, e está a ser multiplicado por si próprio um número de vezes que cresce sem limite. O produto entre «pouco maior do que um» e «infinitas vezes» pode dar qualquer coisa. Daí ser uma indeterminação.

2.º — arrumar o expoente

O obstáculo é o $3$ que multiplica o $n$ no expoente: na forma notável o expoente tem de ser $n$ e só $n$. A ferramenta que resolve isto é a regra das potências

Aplicada ao termo geral, com o objetivo de deixar um $n$ sozinho no expoente de dentro:

3.º — passar o limite para dentro

O expoente $3$ é uma constante, e a função «elevar ao cubo» é contínua. Por isso o limite da potência é a potência do limite:

Resposta: opção (C).

a fórmula geral

Vale a pena guardar a versão generalizada do limite notável, porque resolve estes itens quase de cabeça:

Com $k=3$ na segunda igualdade, sai $e^3$ de imediato. Usa este atalho depois de perceberes o processo do 2.º passo — é o mesmo cálculo, apenas já feito.

Verificação de bom senso

$e^3\approx 20,1$ . Confere com um termo grande: para $n=100$ ,

que já está muito perto de $20,1$ e ainda a subir. Nenhuma das outras opções anda por ali: $e+3\approx 5,7$ , $3e\approx 8,2$ e $\frac{e}{3}\approx 0,9$ . Esta conta de controlo leva segundos na calculadora e despista três das quatro opções.

a origem de cada opção errada

• (A) $e+3$ — calculou $\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ e depois somou o $3$ que estava no expoente. Mas $3n$ é um produto, e um produto no expoente nunca se converte numa parcela no resultado.
• (B) $3e$ — tirou o $3$ do expoente como se fosse um fator da expressão, ou seja, escreveu $a^{3n}=3\times a^n$. Um contra-exemplo chega: $2^{3\times 2}=64$ e $3\times 2^2=12$.
• (D) $\frac{e}{3}$ — a mesma família de (B), com a operação invertida: «desfez» o $3$ dividindo por ele. Se o $3$ tivesse de sair, sairia como expoente de fora, e $e^3\ne \frac{e}{3}$.

As três opções erradas atacam o mesmo ponto — o que fazer ao $3$ — em três direções diferentes. É o sinal de que o item não está a medir se sabes o limite notável: está a medir se sabes que $a^{mn}={\left(a^n\right)}^m$.

onde se perdem pontos

Item de escolha múltipla: é tudo ou nada. Os $12$ pontos vêm inteiros ou não vêm — não há crédito parcial, e errar não desconta.

• Deixar em branco. Como não há penalização por errar, uma opção assinalada ao acaso vale, em média, $3$ pontos, e o branco vale $0$. Não existe situação nenhuma em que compense não responder.
• Responder $1$, por «um elevado a tudo dá um». A base vale $1+\frac{1}{n}>1$ para todo o $n$, e nunca chega a valer $1$. É por isso que $1^{\infty }$ é indeterminação e não resultado — repara que $1$ nem sequer consta das opções, portanto quem raciocina assim acaba a escolher a que lhe parecer mais próxima.
• Tirar o $3$ do expoente para fora da potência. Somá-lo, multiplicá-lo ou dividir por ele dá, respectivamente, (A), (B) e (D): três das quatro opções nascem deste único engano. Um fator no expoente só pode sair como expoente de fora, $a^{3n}={\left(a^n\right)}^3$.
• Assinalar duas opções por indecisão. Os critérios gerais são explícitos: se for apresentada mais do que uma resposta ao mesmo item, só é classificada a que surgir em primeiro lugar. Escrever a emenda a seguir não emenda nada.
• Dispensar a confirmação numérica. Neste item a calculadora é permitida — a proibição é dos itens 2.1. e 2.2. — e ${\left(1,01\right)}^{300}\approx 19,8$ despista as quatro opções em segundos. É uma verificação grátis, e só se perde por não a fazer.

a regra a fixar

perante ${\left(1+\frac{\square }{n}\right)}^{△}$ com base a tender para $1$ e expoente para $+\infty$, reescreve a expressão até teres ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ intacto dentro de parênteses; tudo o que sobrar vira expoente de fora e é esse expoente que vai parar ao $e$.