Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 14, resolvido

O ponto de partida. Perímetro é o comprimento total da fronteira da figura — de toda a linha que a delimita, sem falhar nenhum troço. Neste item é aí que está a armadilha: a fronteira tem três tipos de troço e quase toda a gente esquece um deles.

Antes de somar seja o que for, faz o inventário da fronteira. E fixa uma ideia que contraria a intuição: retirar um pedaço de figura não diminui o perímetro — aumenta-o, porque o corte que fizeste passa a ser fronteira.

Dois comprimentos de base, usados o tempo todo:

• semicircunferência de raio $r$: metade de $2\pi r$, ou seja, $\pi r$;
• diâmetro do semicírculo de raio $r$: $2r$.

1.º — desenhar a fronteira da 1.ª composição

Parte-se de um semicírculo de raio $1$. A sua fronteira é a semicircunferência (comprimento $\pi \times 1=\pi$) mais o diâmetro (comprimento $2$).

Retira-se agora um semicírculo de raio $\frac{1}{2}$, encostado ao diâmetro pelo lado esquerdo. O que muda?

• a semicircunferência exterior mantém-se: continua a medir $\pi$;
• aparece uma nova linha de fronteira — a semicircunferência do semicírculo retirado, de comprimento $\pi \times \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$;
• do diâmetro inicial, deixa de ser fronteira a parte onde assentava o semicírculo retirado. Esse diâmetro mede $2\times \frac{1}{2}=1$, logo sobra um segmento de recta de comprimento $2-1=1$.

Perímetro da 1.ª composição: $\pi +\frac{\pi }{2}+1$. Três tipos de troço: a semicircunferência grande, as semicircunferências retiradas, e o segmento de recta que sobra do diâmetro.

2.º — ver o padrão

Na 2.ª composição retira-se um semicírculo de raio $\frac{1}{4}$: acrescenta $\pi \times \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}$ de fronteira curva e consome $2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ do segmento que restava. O segmento passa de $1$ para $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Na 3.ª composição retira-se um de raio $\frac{1}{8}$: acrescenta $\frac{\pi }{8}$ e o segmento passa de $\frac{1}{2}$ para $\frac{1}{4}$.

Duas leis, então, ambas cotadas:

• os comprimentos das semicircunferências retiradas são $\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{8},\dots$ — termos consecutivos de uma progressão geométrica de primeiro termo $\frac{\pi }{2}$ e razão $\frac{1}{2}$ (cada um é metade do anterior, porque cada raio é metade do anterior);
• o segmento de recta da composição de ordem $n$ mede ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$: vale $1$ para $n=1$, $\frac{1}{2}$ para $n=2$, $\frac{1}{4}$ para $n=3$. Repara no expoente $n-1$, e não $n$ — na composição $n$ já se retiraram $n$ semicírculos, mas o segmento começou em $1$, que é ${\left(\frac{1}{2}\right)}^0$.

3.º — a soma das semicircunferências retiradas

Até à 20.ª composição retiraram-se $20$ semicírculos (raios $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{2^{20}}$), pelo que se somam $20$ termos da progressão geométrica. A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo $u_1$ e razão $r\ne 1$ é

Com $u_1=\frac{\pi }{2}$, $r=\frac{1}{2}$ e $n=20$:

4.º — o segmento de recta da 20.ª composição

Aplicando a lei que encontraste, com $n=20$:

É um número minúsculo — e é precisamente por isso que se esquece. Mas vale $4$ pontos em duas etapas ($2$ por reconhecer a lei, $2$ por escrever o valor para $n=20$), ou seja, quase um terço do item.

5.º — somar tudo

Arredondado às centésimas, como o enunciado pede:

Verificação de bom senso

$6,28\approx 2\pi$, que é o comprimento da circunferência de raio $1$. Faz todo o sentido: as $20$ semicircunferências retiradas somam quase $\pi$ (a soma tende para $\pi$ quando o número de composições cresce) e o segmento de recta já quase desapareceu. No limite, a fronteira da composição tem o mesmo comprimento que a circunferência inteira de raio $1$ — um resultado bonito, e que te diz que a tua conta está no sítio certo.

onde se perdem pontos

• Somar só as linhas curvas. Esta é a perda que não se vê: o segmento de recta acrescenta $0,0000019$ e o resultado arredondado dá $6,28$ à mesma. Ficas convencido de que acertaste e faltam-te $4$ dos $14$ pontos — as duas etapas do segmento — sem que o número final o denuncie. É por isso que o inventário da fronteira se faz antes da primeira conta, e não se confere pelo resultado.
• Usar a soma da série em vez de $S_{20}$. Como a razão é $\frac{1}{2}$, somar todos os termos dá $\pi$ e o valor final calha nos mesmos $6,28$. Só que a etapa cotada — a mais cara do item, $3$ pontos — é escrever a soma dos $20$ primeiros termos com a fórmula e o $n=20$ à vista. Um atalho que dá certo continua a valer zero.
• Ir directo ao número sem escrever a expressão do perímetro. «Reconhecer que o valor pedido é dado por $\pi +S_{20}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{19}$» é uma etapa por si, de $2$ pontos. Uma linha a montar a soma, antes de tocar na calculadora, paga-se sozinha.
• Identificar a progressão pelos raios. Os raios $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots$ também formam uma progressão geométrica, e é a errada: a etapa de $2$ pontos pede primeiro termo $\frac{\pi }{2}$ e razão $\frac{1}{2}$, porque o que se soma são comprimentos, não medidas de raio.
• Apresentar o valor exacto, ou com mais casas. O enunciado pede o arredondamento às centésimas e a última etapa, de $1$ ponto, é só sobre isso. Deixar $\pi +\pi \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}\right)+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{19}$ como resposta final é entregar esse ponto.
• Deixá-lo em branco por ser o último. Este é um dos seis itens facultativos, dos quais contam para a classificação os três melhores: cada um deles é uma tentativa que não tem custo. As duas primeiras etapas — $\pi$ e $\frac{\pi }{2}$ — valem $2$ pontos e escrevem-se em dez segundos, mesmo a quem não vê o resto.