O que governa este item é o teorema de Bolzano-Cauchy (teorema dos valores intermédios). Quando um enunciado diz «mostre que existe, pelo menos, um» e te dá um intervalo, sem pedir o valor, está a pedir Bolzano: prova-se a existência sem resolver a equação.
Repara que o intervalo dado, ]−1,0[, está todo dentro de ]−∞,3[, logo trabalhas só com o ramo de cima de f.
1.º — traduzir a frase do enunciado numa equação
«Ponto do gráfico de f de abcissa x» é o ponto (x,f(x)). «A ordenada é simétrica da abcissa» quer dizer que a ordenada é −x. Logo procuras x∈]−1,0[ tal que
f(x)=−xEsta tradução é uma etapa pontuada por si só, e vale 2 pontos. Escreve-a explicitamente, mesmo que não avances mais.
Atenção a uma armadilha de leitura: simétrico é −x; inverso seria x1. São coisas diferentes.
passar tudo para um dos membros
Bolzano fala de zeros de uma função, não de igualdades entre duas. Por isso passa tudo para o mesmo lado:
f(x)=−x⟺f(x)+x=0e define a função auxiliar
h(x)=f(x)+x,x∈]−∞,3[Mostrar que a equação inicial tem solução em ]−1,0[ é agora exactamente o mesmo que mostrar que h tem um zero nesse intervalo. Definir h vale mais 2 pontos.
2.º — garantir a continuidade no intervalo FECHADO
Em ]−∞,3[, f é dada por 4−e3−x(x+1)−21x2, que resulta de operações sucessivas entre a função exponencial e funções polinomiais — todas contínuas. Logo f é contínua nesse intervalo, e h=f+x, soma de funções contínuas, também é.
Em particular, h é contínua em [−1,0], porque [−1,0]⊂]−∞,3[.
⚠️ O intervalo tem de ser o fechado [−1,0]. Bolzano exige continuidade num intervalo fechado e limitado: é nos extremos que se avaliam os valores da função, e um intervalo aberto não os contém. Os critérios são taxativos — quem escreve «h é contínua em ]−1,0[» leva 0 pontos nesta etapa, e a nota 3 faz cair também os 2 pontos da conclusão final. São 4 pontos perdidos por causa de um parêntesis.
3.º — calcular os valores nos extremos
Em x=−1:
f(−1)=4−e3−(−1)(−1+1)−21×(−1)2=4−e4×0−21=27O factor (x+1) anula-se em x=−1, e isso mata a exponencial — é precisamente por isso que o enunciado escolheu −1 como extremo. Não te assustes com o e4: ele está multiplicado por zero.
h(−1)=f(−1)+(−1)=27−1=25Em x=0:
f(0)=4−e3−0(0+1)−21×02=4−e3h(0)=f(0)+0=4−e34.º — ver que os sinais são contrários
25>0, portanto h(−1)>0.
Para h(0)=4−e3, usa que e>2,7, logo e3>2,73>19>4, e portanto 4−e3<0. (Com a calculadora, 4−e3≈−16,09 — o enunciado permite-a em «eventuais cálculos numéricos».)
Logo
h(0)<0<h(−1)Repara que 0 está estritamente entre os dois valores: é isso que garante que o zero cai no interior do intervalo, e não num dos extremos.
5.º — invocar Bolzano-Cauchy e concluir
Estão verificadas as duas hipóteses: h é contínua em [−1,0] e 0 é um valor estritamente compreendido entre h(0) e h(−1). Pelo teorema de Bolzano-Cauchy,
∃c∈]−1,0[:h(c)=0Ou seja, f(c)+c=0, isto é, f(c)=−c.
Existe, portanto, pelo menos um ponto do gráfico de f, de abcissa em ]−1,0[, cuja ordenada é simétrica da abcissa — que é o que se pretendia mostrar.
como se escreve a resposta
O item não pede o valor de c, e não o tentes calcular: a equação 4−e3−x(x+1)−21x2+x=0 não se resolve analiticamente. O que se pede é uma demonstração de existência.
A conclusão tem de nomear o teorema («pelo teorema de Bolzano-Cauchy») e voltar à linguagem do enunciado («existe um ponto do gráfico cuja ordenada é simétrica da abcissa»). Parar em «h tem um zero» deixa o trabalho a meio.
Os valores 25 e 4−e3 escrevem-se na forma exacta; a aproximação −16,09 serve só para justificar o sinal.
onde se perdem pontos
Escrever «contínua em ]−1,0[» em vez de [−1,0]: 0 pontos nessa etapa e 0 pontos na conclusão, por arrastamento da nota 3. É a perda mais cara do item.
Não justificar a continuidade: dizer que h é contínua sem invocar que é soma/produto de funções contínuas (exponencial e polinómios) não chega.
Confundir simétrico com inverso, e equacionar f(x)=x1.
Não definir a função auxiliar h e tentar aplicar Bolzano directamente a f com o valor −x — Bolzano compara a função com um valor fixo, não com outra função que varia.
Errar f(−1) por não reparar que (x+1) se anula e tentar avaliar e4.
Não afirmar que h(0)<0<h(−1): é etapa pontuada e é a hipótese que dá o sinal contrário.
Esquecer a frase final que traduz h(c)=0 de volta para «f(c)=−c», ou seja, de volta ao ponto do gráfico.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
«Mostre que existe, pelo menos, um...» num intervalo é sempre Bolzano-Cauchy, e o guião tem cinco linhas fixas: equacionar → passar tudo para um membro e definir a função auxiliar → justificar a continuidade no intervalo FECHADO → calcular os valores nos extremos e ver que têm sinais contrários → invocar o teorema e traduzir de volta.
O detalhe que distingue quem treinou: o intervalo da continuidade é fechado, o intervalo onde o zero aparece é aberto. Escreve sempre os dois, cada um no seu sítio.