Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 4.1, resolvido

O que governa este item é uma equivalência só: um plano é perpendicular a uma reta se, e só se, um vetor diretor dessa reta for um vetor normal do plano. Tudo o resto é substituição.

1.º — ler o vetor diretor da reta $DH$

A reta $DH$ é dada na forma vetorial:

O ponto $(2,-3,4)$ diz por onde a reta passa; o vetor que multiplica o parâmetro diz para onde ela vai. O vetor diretor é, portanto,

Atenção ao sinal: a primeira coordenada do ponto é $2$ e a segunda é $-3$ . Quem trocar o ponto com o vetor vai construir o plano errado.

2.º — escrever a família de planos perpendiculares a $DH$

Como o plano tem de ser perpendicular à reta, $\vec{u}(1,3,0)$ é vetor normal do plano. Numa equação cartesiana $ax+by+cz+d=0$ , os coeficientes $(a,b,c)$ são as coordenadas de um vetor normal. Logo, todos os planos perpendiculares a $DH$ têm a forma

O $z$ desaparece porque a terceira coordenada do vetor diretor é $0$ — estes planos são todos paralelos ao eixo $Oz$ .

Isto já elimina metade das opções, sem contas nenhumas: para uma equação servir, o vetor $(a,b,c)$ dos seus coeficientes tem de ser colinear com $(1,3,0)$ , isto é, tem de ser um múltiplo dele.

3.º — impor a passagem pelo ponto $G$

Falta fixar $d$ , e é o ponto $G(6,9,0)$ que o fixa. Um ponto pertence ao plano quando as suas coordenadas satisfazem a equação, portanto substitui:

A equação do plano é

a opção

A equação obtida é exactamente a da opção (B).

de onde vem cada opção errada

• (A) $3x-y-9=0$ — o vetor dos coeficientes é $(3,-1,0)$ : alguém trocou as duas primeiras coordenadas de $(1,3,0)$ e trocou-lhes um sinal. E é um distrator forte, porque este plano passa mesmo em $G$ : $3\times 6-9-9=18-18=0$ . Só que $(3,-1,0)\cdot (1,3,0)=3-3=0$ , isto é, o vetor normal é perpendicular ao vetor diretor da reta: este plano é paralelo à reta $DH$ (contém a sua direção), que é o oposto do que se pede. Passar no ponto certo não chega.
• (C) $6x-2y+27=0$ — coeficientes $(6,-2,0)=2(3,-1,0)$ , a mesma direção errada de (A), e ainda por cima nem passa em $G$ : $6\times 6-2\times 9+27=36-18+27=45\ne 0$ . Falha nas duas condições.
• (D) $2x+6y+15=0$ — coeficientes $(2,6,0)=2(1,3,0)$ , logo a direção está certa: este plano é de facto perpendicular a $DH$ . O que falha é o termo independente, que não foi calculado com $G$ : $2\times 6+6\times 9+15=12+54+15=81\ne 0$ . É o distrator de quem acerta na ideia e se esquece de impor o ponto.

um teste de dez segundos

Com quatro opções e um ponto dado, tens sempre dois filtros rápidos, e são independentes:

1. os coeficientes $(a,b,c)$ são múltiplo de $(1,3,0)$ ? — sobrevivem (B) e (D);
2. as coordenadas de $G(6,9,0)$ anulam a equação? — de (B) e (D), só (B).

Nenhum dos filtros chega sozinho: o primeiro deixa passar (D), o segundo deixa passar (A).

onde é que se perde este item

• Confundir o ponto com o vetor na equação vetorial e usar $(2,-3,4)$ como vetor normal.
• Perder o sinal do $-3$ ao ler a equação da reta — embora aqui não estrague este item, estraga o 4.2., que usa o mesmo ponto.
• Usar um vetor perpendicular ao diretor em vez do próprio diretor. É a confusão entre «plano perpendicular à reta» e «plano paralelo à reta»: um tem o diretor como normal, o outro tem-no contido.
• Esquecer de impor $G$ e escolher a primeira opção com a direção certa.
• Errar o sinal de $d$ : de $33+d=0$ vem $d=-33$ , logo o termo independente da equação é $-33$ e não $+33$ .

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Plano perpendicular a uma reta» $\Rightarrow$ diretor da reta $=$ normal do plano $\Rightarrow$ os coeficientes de $x$ , $y$ e $z$ já estão escolhidos, e só falta o termo independente, que sai sempre de substituir o ponto dado. Duas linhas de cálculo, e o resto é leitura atenta.