Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 13.(AE2023), resolvido

O que governa este item é uma observação sobre a figura que o enunciado quase te oferece: $P$ , $B$ , $C$ e $S$ estão todos na mesma recta. Perceber porquê é meio caminho andado, porque a partir daí o problema deixa de ser de geometria plana e passa a ser de somas e subtracções de comprimentos sobre um segmento.

A razão é a hipótese $\overline{PR}=\overline{PQ}$ : o triângulo $[PQR]$ é isósceles com o vértice $P$ oposto à base $[RQ]$ . Num triângulo isósceles, a mediana, a mediatriz, a bissectriz e a altura relativas à base são a mesma recta. Logo, o segmento $[PS]$ (mediana, porque $S$ é o ponto médio de $[RQ]$ ) é também a mediatriz de $[RQ]$ , e portanto:

• contém o baricentro $B$ , que está sobre todas as medianas;
• contém o circuncentro $C$ , que está sobre todas as mediatrizes (é o que o enunciado confirma ao dizer que $C\in [PS]$ );
• é perpendicular a $[RQ]$ no ponto $S$ .

Estas três consequências são tudo o que vais usar.

1.º — de $\overline{PB}$ para $\overline{PS}$ — a razão do baricentro

A propriedade do baricentro é esta: divide cada mediana em duas partes, sendo a parte junto ao vértice o dobro da parte junto ao lado. Em razões, a partir do vértice $P$ :

Com $\overline{PB}=6$ :

Esta é a etapa mais cotada do item (4 pontos para a relação, 2 para o valor). Repara que podias chegar ao mesmo por outro lado: $\overline{BS}=\frac{\overline{PB}}{2}=3$ , e então $\overline{PS}=\overline{PB}+\overline{BS}=6+3=9$ . É a mesma propriedade, dita ao contrário.

2.º — de $\overline{CS}$ para $\overline{CR}$ — a propriedade do circuncentro

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita, logo está à mesma distância dos três vértices:

É esta igualdade que liga o que queres ( $\overline{CS}$ , medido sobre $[PS]$ ) ao que sabes ( $\overline{QR}$ , medido na base). Sem ela, $\overline{CS}$ e $\overline{QR}$ não se falam.

Como $C$ está entre $P$ e $S$ , o segmento $[PS]$ parte-se em dois:

e, pela igualdade acima,

Chama a atenção para o que isto é: uma incógnita só. Tudo o que falta está escrito à custa de $\overline{CS}$ .

3.º — o triângulo retângulo que fecha o problema

Falta usar $\overline{QR}=6\sqrt{6}$ . Como $S$ é o ponto médio de $[RQ]$ :

Agora olha para o triângulo $[CSR]$ : tem um vértice em $C$ (sobre $[PS]$ ), um em $S$ e um em $R$ . Como $[PS]\perp [RQ]$ em $S$ , este triângulo é rectângulo em $S$ , e a sua hipotenusa é $[CR]$ .

Teorema de Pitágoras:

Substituis o que já tens, e repara que ${\left(3\sqrt{6}\right)}^2=3^2\times 6=9\times 6=54$ :

4.º — resolver — e o quadrado desaparece

Desenvolve o quadrado do binómio, sem saltar o termo do meio:

Os termos ${\overline{CS}}^2$ cancelam-se nos dois membros — e é isso que torna o item fácil de fechar: sobra uma equação do primeiro grau.

confere que o desenho fecha

Se $\overline{CS}=\frac{3}{2}$ , então $\overline{CP}=\overline{CQ}=\overline{CR}=9-\frac{3}{2}=\frac{15}{2}=7,5$ — é o raio da circunferência circunscrita.

Confirma com Pitágoras: ${\overline{CS}}^2+{\overline{SR}}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+54=\frac{9}{4}+54=\frac{9+216}{4}=\frac{225}{4}={\left(\frac{15}{2}\right)}^2$ . ✓

E faz sentido geometricamente: $\overline{CS}=1,5$ é pequeno em comparação com $\overline{PS}=9$ , ou seja, $C$ está bastante perto da base — exactamente como a figura mostra, com $C$ entre $B$ e $S$ . De facto, $\overline{BS}=3$ e $\overline{CS}=1,5$ , logo $C$ está mesmo entre $B$ e $S$ . ✓

como se apresenta o resultado

O resultado é exacto e sai como fracção: $\frac{3}{2}$ , irredutível. Serve também $1,5$ , mas não deixes $\frac{27}{18}$ por simplificar. O enunciado não dá unidades, portanto não se inventam.

onde é que este item se perde

Trocar a razão do baricentro. O erro mais caro do item, e vale 4 pontos logo à partida: usar $\overline{PB}=\frac{1}{3}\overline{PS}$ (que daria $\overline{PS}=18$ ) em vez de $\frac{2}{3}$ . Fixa-o pelo lado geométrico: o baricentro está mais perto do lado do que do vértice? Não — está mais perto do lado oposto ao vértice... e, medido a partir do vértice, já percorreu dois terços do caminho. Se a dúvida persistir, desenha e compara: a parte junto ao vértice é o dobro da outra.

Não perceber que $[PS]\perp [RQ]$ . Sem a perpendicularidade não há triângulo rectângulo e Pitágoras não se aplica. Ela vem de $\overline{PR}=\overline{PQ}$ , que é uma hipótese do enunciado e não um acidente da figura — tens de a invocar explicitamente.

Usar $\overline{QR}$ em vez de $\overline{SR}$ . No triângulo $[CSR]$ , o cateto é metade da base: $3\sqrt{6}$ , não $6\sqrt{6}$ . E não esqueças que ${\left(3\sqrt{6}\right)}^2=54$ , não $3\times 6=18$ nem $18^2$ .

Perder o termo do meio no quadrado do binómio. ${\left(9-\overline{CS}\right)}^2$ é $81-18\overline{CS}+{\overline{CS}}^2$ , não $81-{\overline{CS}}^2$ nem $81+{\overline{CS}}^2$ . É exactamente o termo $-18\overline{CS}$ que dá a resposta — sem ele, a equação fica impossível.

Confundir baricentro com circuncentro. São pontos distintos (aqui, $\overline{PB}=6$ e $\overline{PC}=7,5$ ) e cada um tem a sua propriedade: o baricentro dá a razão $2:1$ sobre a mediana; o circuncentro dá a igualdade de distâncias aos vértices. Trocá-las parte o item ao meio.

Apresentar só o resultado final. Item corrigido por etapas: uma resposta sem cálculos, mesmo com o valor certo, é classificada com zero pontos.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um item juntar dois pontos notáveis do mesmo triângulo e te der um triângulo isósceles, a primeira coisa a escrever é que a mediana relativa à base é também mediatriz e altura — porque é isso que põe os pontos notáveis todos alinhados e transforma o problema numa contagem de comprimentos sobre um segmento. Depois, cada ponto notável entra com a sua propriedade: baricentro $\to$ razão $2:1$ ; circuncentro $\to$ equidistância aos vértices; incentro $\to$ equidistância aos lados; ortocentro $\to$ intersecção das alturas. E no fim há quase sempre um triângulo rectângulo escondido, formado pela metade da base e pelo pedaço do eixo de simetria.