Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 2, resolvido

como este item é pontuado

Os $12$ pontos não se dividem por espaço: atribuem-se por níveis de desempenho, contando quantos dos quatro espaços ficam certos — $12$ pontos com os $4$ certos, $8$ pontos com $3$, $4$ pontos com $2$, e nada com $1$ ou nenhum. Daqui sai uma consequência prática que vale ouro: cada espaço a mais que acertes pode fazer-te subir um escalão inteiro, e não há penalização por errar. Responde sempre aos quatro, mesmo que num deles tenhas de escolher por eliminação.

A calculadora é permitida. Mete as duas linhas da tabela em duas listas logo no início — $L_1$ com a produção de pera e $L_2$ com a de maçã — porque os espaços I e III saem do mesmo menu de estatística.

I — a diferença das medianas

A mediana é o valor central da lista ordenada, e não a média. Ordena cada linha:

Cada lista tem $5$ valores, número ímpar, portanto a mediana é mesmo o $3{.}^{\circ }$ valor de cada uma: ${\tilde{x}}_{\text{pera}}=12197$ e ${\tilde{x}}_{\text{mac¸a˜}}=21330$.

«Excede ... em» é uma subtracção, e a ordem importa — é a maçã que excede a pera:

I $\to$ c)

II — variação relativa, com o denominador certo

«Aumento de, aproximadamente, ...» é uma variação relativa, e o que vai ao denominador é sempre o valor de partida — a produção de 2020, porque é «de 2020 para 2021».

II $\to$ b)

III — contar abaixo de $\bar{x}+\sigma$

Precisas de duas medidas da linha da pera. A média:

O desvio padrão sai da calculadora, a partir da lista que já lá meteste: $\sigma \approx 3699,5$. A fronteira pedida é a soma das duas:

Agora conta quantos dos cinco valores da pera ficam abaixo de $18185,3$:

• 2019: $17530$ — inferior, conta;
• 2020: $11565$ — inferior, conta;
• 2021: $20208$ — superior, não conta;
• 2022: $12197$ — inferior, conta;
• 2023: $10929$ — inferior, conta.

São quatro anos.

III $\to$ c)

IV — o ano que falta para fechar o acumulado

Lê a previsão com calma, porque tudo se joga nos períodos, que não são os mesmos:

• acumulado da maçã, de 2019 a 2024: $136270$ kg/ha (é o que o enunciado te dá);
• acumulado da pera, no mesmo período de 2019 a 2024: $60\%$ desse valor, ou seja $0,6\times 136270=81762$ kg/ha;
• acumulado da pera de 2019 a 2023: sai da tabela, $17530+11565+20208+12197+10929=72429$ kg/ha.

A produção de 2024 é exactamente o que falta para o acumulado de cinco anos chegar ao de seis:

IV $\to$ b)

de onde vem cada opção errada

• I a) $6436$ — é $26644-20208$, a diferença entre as produções de 2021 apenas. Quem escolhe esta comparou um ano, não as distribuições.
• I b) $8554$ — é a diferença das médias: $\frac{115200}{5}-\frac{72429}{5}=23040-14485,8=8554,2$. É o distrator central do espaço: existe só para apanhar quem troca mediana por média.
• II a) $25\%$ — é $\frac{6557}{26644}\approx 24,6\%$: o aumento dividido pelo valor de chegada em vez do de partida.
• II c) $75\%$ — é $\frac{20087}{26644}\approx 75,4\%$, a razão entre as duas produções, não o aumento.
• III a) dois — é o número de anos abaixo da mediana ($12197$): $11565$ e $10929$. Vem de usar a medida errada.
• III b) três — é o número de anos abaixo da média sozinha ($14485,8$): $11565$, $12197$ e $10929$. Vem de esquecer a parcela $+\sigma$.
• IV a) $6557$ — é o aumento calculado no espaço II, arrastado por distracção.
• IV c) $12643$ — vem de aplicar os $60\%$ à produção de maçã de 2024 sozinha ($136270-115200=21070$, e $0,6\times 21070\approx 12642$), em vez de a aplicar ao acumulado.

onde se perdem os pontos

• Trocar mediana por média no espaço I: o distrator está lá à espera, e o erro custa um escalão inteiro.
• Pôr o valor de chegada no denominador da variação relativa (espaço II). A pergunta é sempre «relativamente a quê?» — e é ao valor inicial.
• Esquecer o desvio padrão no espaço III, comparando só com a média.
• Confundir os períodos no espaço IV: a tabela vai até 2023, a previsão vai até 2024, e é a diferença entre os dois acumulados que dá o ano em falta.
• Deixar um espaço em branco. Como a pontuação é por níveis, um espaço vazio e um espaço errado valem o mesmo — mas o espaço preenchido ainda pode acertar. Nunca deixes nenhum por responder.

ler o enunciado como instrução

Três expressões mandam em três contas, e estão sempre escritas da mesma maneira: «excede ... em» é uma subtracção; «aumento de ...%» é uma divisão pelo valor inicial; «acumulada» é uma soma ao longo de um período, e o período está sempre escrito por extenso. Sublinha-os no enunciado antes de tocar na calculadora.