Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 8, resolvido

Este item tem três andares e é bom veres isso antes de escrever fosse o que for: primeiro simplificas $z$ até à forma algébrica $x+yi$ com $x$ e $y$ reais escritos à custa de $a$; depois usas a condição $\mathrm{Im}(z)-\mathrm{Re}(z)=1$ para descobrir $a$; só no fim passas à forma trigonométrica. Cada andar é pontuado por si, portanto mesmo que te percas no último, o que fizeste antes conta.

É sem calculadora. Isso quer dizer que as potências de $i$, o conjugado do denominador e os valores exactos de $\cos \frac{7\pi }{4}$ e $\mathrm{sen}\frac{7\pi }{4}$ têm de sair de cabeça.

1.º — reduzir $i^{15}$

As potências de $i$ repetem-se de quatro em quatro: $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ , e daí em diante recomeça. Por isso o que interessa do expoente é o resto da divisão por 4.

Como $15=3\times 4+3$ , o resto é $3$ e $i^{15}=i^3=-i$ .

Esta é uma etapa obrigatória e pontuada por si (1 ponto): o critério pede explicitamente «identificar $i^{15}$ com $-i$».

2.º — tirar o $i$ do denominador

Uma fracção com $1-2i$ em baixo não está na forma algébrica, porque a parte real e a parte imaginária ainda estão misturadas. O obstáculo é o denominador ser complexo — e a maneira de o remover é multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado $1+2i$ , porque $(1-2i)(1+2i)=1^2-(2i{)}^2=1+4=5$ , que é real. Não é um truque: é a diferença de quadrados a transformar um número complexo num número real.

Repara que $-10a{i}^2=-10a\times (-1)=+10a$ . É aqui que se perde meia dúzia de respostas: o sinal do $i^2$.

Esta etapa vale 3 pontos — é a mais cara do item.

3.º — passar a exponencial à forma algébrica

$\sqrt{2}{e}^{i\frac{7\pi }{4}}$ está na forma exponencial, que é a forma trigonométrica escrita de outra maneira: $\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta )$ , com $\rho =\sqrt{2}$ e $\theta =\frac{7\pi }{4}$ .

$\frac{7\pi }{4}$ é o quarto quadrante, simétrico de $\frac{\pi }{4}$ em relação ao eixo real: $\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\mathrm{sen}\frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vale 2 pontos, e é independente de tudo o resto — escreve-a mesmo que a fracção te tenha corrido mal.

4.º — juntar as duas parcelas e ler as partes

Agora o passo que decide o item: $a$ é real. Por isso $2a+1$ e $-a-1$ são números reais e podes dizer, sem medo, que $\mathrm{Re}(z)=2a+1$ e $\mathrm{Im}(z)=-a-1$ . Se $a$ não fosse real, esta leitura estaria errada — e é exactamente por isso que o enunciado escreve «com $a\in \mathbb{R}$».

Lembra-te também que a parte imaginária é o coeficiente, não o coeficiente vezes $i$: $\mathrm{Im}(z)=-a-1$ e não $(-a-1)i$ .

5.º — usar a condição para achar $a$

O parêntesis na subtracção não é decoração: sem ele ficavas com $-a-1-2a+1$ e chegavas a outro $a$. Escrever a condição (2 pontos) e obter o valor de $a$ (1 ponto) são etapas separadas no critério.

6.º — obter $z$

Sim, $z$ dá um número real. Não é um erro teu: é o que o enunciado montou. Um número real negativo continua a ser um número complexo e tem forma trigonométrica.

a forma trigonométrica de um real negativo

A forma trigonométrica é $z=\rho (\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta )$ , com $\rho =|z|⩾0$ e $\theta$ um argumento.

Aqui $\rho =|-1|=1$ . O afixo de $z$ é o ponto $(-1,0)$ , que está no semieixo real negativo, logo um argumento é $\pi$ .

O módulo nunca é negativo. Se te apetecer escrever $z=-1\left(\cos 0+i\mathrm{sen}0\right)$ , isso está errado como forma trigonométrica, ainda que o valor esteja certo.

confere que a condição se cumpre

Com $a=-1$ : $\mathrm{Re}(z)=-1$ e $\mathrm{Im}(z)=0$ , logo $\mathrm{Im}(z)-\mathrm{Re}(z)=0-(-1)=1$ . Bate. São cinco segundos e apanham um erro de sinal a tempo.

onde é que este item come pontos

• $i^{15}$ mal reduzido. Trocar o resto $3$ por $1$ dá $i^{15}=i$ e o sinal de toda a primeira parcela inverte-se.
• $i^2$ tratado como $1$. Em $-5ai(1+2i)$ , quem escreve $-10a{i}^2=-10a$ perde os 3 pontos da etapa mais cara.
• $\mathrm{sen}\frac{7\pi }{4}$ com sinal positivo. Dá $1+i$ em vez de $1-i$ e contamina tudo o que vem a seguir.
• Parêntesis esquecido em $\mathrm{Im}(z)-\mathrm{Re}(z)$ , que é subtrair um binómio inteiro.
• $\mathrm{Im}(z)$ escrito com o $i$ agarrado. A parte imaginária é um número real.
• Parar em $z=-1$. O item pede a forma trigonométrica; parar aqui deixa 2 pontos em cima da mesa.
• Módulo negativo na forma trigonométrica.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um item te dá um complexo com um parâmetro real e uma condição sobre $\mathrm{Re}$ e $\mathrm{Im}$ , a ordem é sempre a mesma: forma algébrica primeiro, condição depois. Não tentes usar a condição enquanto ainda houver um $i$ no denominador ou uma exponencial por converter — as partes real e imaginária ainda não estão à vista, e qualquer coisa que escrevas sobre elas é um palpite.