Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 12.1, resolvido

Este é um item de argumentos, não de módulos: nenhuma das quatro opções fala do módulo de $w$ . Portanto não precisas de calcular $\left|w\right|$ — precisas das regras que dizem como o argumento se comporta num produto, num quociente, numa potência e num conjugado.

as quatro regras que governam o item

Se $z_1$ tem argumento $\alpha$ e $z_2$ tem argumento $\beta$ , então

E há a quarta, a que decide este item: o conjugado troca o sinal do argumento. Se $w$ tem argumento $\theta$ , então $\overline{w}$ tem argumento $-\theta$ . Geometricamente é evidente — conjugar é reflectir no eixo real, e a reflexão troca o sentido do ângulo.

(Nota que estas igualdades valem a menos de $2k\pi$ : um complexo tem infinitos argumentos. Por isso o enunciado pergunta por um argumento, e não pelo argumento principal.)

1.º — o argumento de $i^{23}$

As potências de $i$ repetem-se de quatro em quatro: $i^0=1$ , $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , e a partir daí recomeça. Para saber onde cai $i^{23}$ , divide o expoente por $4$ e fica-te com o resto:

Falta o argumento de $-i$ . É o imaginário puro com parte imaginária negativa, logo está sobre o semieixo imaginário negativo:

Escolhe a forma $\frac{3\pi }{2}$ , porque é a que aparece nas opções e te poupa uma conversão no fim.

2.º — juntar tudo numa soma algébrica

O $-(-\theta )$ é o coração do item. Subtrai-se o argumento do denominador, e o argumento do denominador já é $-\theta$ : são duas trocas de sinal que se somam e dão $+\theta$ . É exactamente aqui que nascem quase todos os erros.

Resposta: opção (D).

experimenta com um $\theta$ concreto

Toma $\theta =\frac{2\pi }{3}$ , que está mesmo dentro de $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ . Então $\arg \left(w^2\right)=\frac{4\pi }{3}$ e $\arg \left(\overline{w}\right)=-\frac{2\pi }{3}$ , e a conta dá

que é o mesmo argumento que $\frac{3\pi }{2}$ . A opção (D) devolve $3\times \frac{2\pi }{3}+\frac{3\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — bate. Já a (A) daria $\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}$ , que não é o mesmo ângulo. Dois minutos de conta com um valor concreto desempatam qualquer hesitação num item destes.

de onde vem cada opção errada

• (A) $\theta +\pi$ — junta os dois erros de uma vez: usa $\arg \left(i^{23}\right)=\pi$ , por confundir $i^3=-i$ com $-1$ , e dá a $\overline{w}$ o argumento $\theta$ em vez de $-\theta$ , o que deixa $2\theta -\theta =\theta$ .
• (B) $\theta +\frac{3\pi }{2}$ — acerta em $\arg \left(i^{23}\right)=\frac{3\pi }{2}$ , mas esquece que o conjugado inverte o sinal do argumento: faz $2\theta -\theta =\theta$ .
• (C) $3\theta +\pi$ — trata bem o conjugado, $2\theta -(-\theta )=3\theta$ , mas troca $i^3=-i$ por $-1$ e usa argumento $\pi$ .
• (D) $3\theta +\frac{3\pi }{2}$ — é a correcta: $\frac{3\pi }{2}$ de $i^{23}$ mais $3\theta$ vindo de $2\theta -(-\theta )$ .

Repara na simetria das três erradas: uma falha só no $i^{23}$ , outra falha só no conjugado, a terceira falha nas duas. As opções foram desenhadas para separar exactamente estas duas competências.

onde é que este item come pontos

Em escolha múltipla ou acertas ou perdes os $12$ pontos — não há crédito parcial, e é por isso que vale a pena gastar meio minuto a confirmar. Os descuidos que o item convida a cometer:

• $i^{23}=i$. Ficar com o quociente da divisão por $4$ em vez do resto, ou contar mal os ciclos.
• $i^3=-1$. É $i^2$ que vale $-1$ ; $i^3=i^2\times i=-i$ .
• $\arg \left(\overline{w}\right)=\theta$. O conjugado reflecte no eixo real, logo o argumento muda de sinal.
• Somar em vez de subtrair o denominador. No quociente o argumento do denominador subtrai-se sempre, mesmo quando já é negativo.
• Deixar-se prender pela restrição $\theta \in \left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ . Ela não entra em conta nenhuma deste item — só será precisa no 12.2., para escolher qual das três raízes é $w$ . Aqui é ruído, e perder tempo a tentar usá-la atrasa-te.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando as opções só mostram argumentos, ignora os módulos por completo e converte a expressão numa soma algébrica de ângulos: cada factor entra a somar, cada divisor a subtrair, cada expoente multiplica, e cada conjugado troca o sinal.

E trata sempre as potências de $i$ pelo resto da divisão do expoente por $4$ . Vale a pena ter os quatro casos no dedo: $i^0=1$ (argumento $0$), $i^1=i$ ($\frac{\pi }{2}$), $i^2=-1$ ($\pi$), $i^3=-i$ ($\frac{3\pi }{2}$).