Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 8.2, resolvido

O que governa este item é a expressão «pelo menos um»: sempre que ela aparece, o caminho curto é o acontecimento contrário — «nenhum». Contar directamente «pelo menos um» obrigava-te a somar três casos (exactamente um, exactamente dois, exactamente três); contar «nenhum» é uma única combinação.

ler os números do contentor

Do enunciado do item 8: dos alunos presentes, $25$ são do 12.º ano e, destes, $10$ frequentam Matemática A. Logo, entre os do 12.º ano há $25-10=15$ que não frequentam Matemática A. A selecção é feita apenas entre os $25$ do 12.º ano.

1.º — porquê combinações e não arranjos

Os três alunos vão «integrar a mesa da assembleia» — não há cargos distintos nem ordem que distinga as escolhas. Um conjunto de três alunos é o mesmo conjunto seja qual for a ordem por que os escrevas, portanto conta-se com combinações:

2.º — contar o contrário: nenhum frequenta Matemática A

Se nenhum dos três frequentar Matemática A, os três saem todos do grupo dos $15$:

3.º — a probabilidade pedida

Simplificando por $5$:

Em alternativa, a mesma conta escreve-se de uma vez como $\frac{{}^{25}{C}_3-{}^{15}{C}_3}{{}^{25}{C}_3}=\frac{2300-455}{2300}=\frac{369}{460}$.

A opção correcta é a (C).

o resultado faz sentido?

Dos $25$ alunos, $10$ — ou seja, $40\%$ — frequentam Matemática A. É muito mais provável apanhar pelo menos um do que nenhum, portanto a resposta tem de ser bem acima de $\frac{1}{2}$. E $\frac{369}{460}\approx 0,80$. As opções (A) e (B) são pequenas de mais para poderem ser esta probabilidade — dá para as afastar antes de qualquer conta fina.

de onde vem cada opção errada

– (A) $\frac{6}{115}$ — é $\frac{{}^{10}{C}_3}{{}^{25}{C}_3}=\frac{120}{2300}=\frac{6}{115}$: a probabilidade de os três frequentarem Matemática A. Troca «pelo menos um» por «todos».

– (B) $\frac{21}{460}$ — é $\frac{{}^{15}{C}_2}{{}^{25}{C}_3}=\frac{105}{2300}=\frac{21}{460}$: quem tenta contar «exactamente um» escolhe os dois que não frequentam Matemática A e esquece-se de escolher qual é o aluno de Matemática A, perdendo o factor ${}^{10}{C}_1=10$. Com esse factor sairia $\frac{21}{46}$, que é a probabilidade de exactamente um — e que também não é o que o item pede.

– (D) $\frac{109}{115}$ — é $1-\frac{{}^{10}{C}_3}{{}^{25}{C}_3}=1-\frac{6}{115}$: usa o contrário certo, mas aplicado ao acontecimento errado. É a probabilidade de não serem os três de Matemática A. É o distrator mais perigoso, porque está perto do valor correcto e vem de um raciocínio quase certo — o erro está em ter trocado «nenhum» por «todos» ao formar o contrário.

onde é que este item se perde

– Contar sobre os alunos todos da assembleia ($55$): a selecção é feita só entre os $25$ do 12.º ano. O $55$ do item anterior não entra aqui.

– Usar arranjos (${}^{25}{A}_3=13800$) em vez de combinações: como a ordem não conta, arranjos inflacionam numerador e denominador — e se só inflacionares um dos dois, o resultado sai errado.

– Formar mal o contrário de «pelo menos um»: o contrário de «pelo menos um frequenta» é «nenhum frequenta», não «todos frequentam» nem «pelo menos um não frequenta».

– Somar os três casos e enganar-se num: é possível fazer $\frac{{}^{10}{C}_1\times {}^{15}{C}_2+{}^{10}{C}_2\times {}^{15}{C}_1+{}^{10}{C}_3}{{}^{25}{C}_3}=\frac{1050+675+120}{2300}=\frac{1845}{2300}$, mas são três parcelas para errar em vez de uma.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Pelo menos um» $\to$ $1-$ «nenhum». É quase sempre o caminho mais curto, e é o único que evita somar vários casos. Fixa também que «integrar uma mesa/comissão/grupo» significa combinações; só quando há cargos distintos (presidente, secretário…) é que a ordem passa a contar.