Exame de Física e Química A 2026 · 2.ª fase — item 6.1, resolvido

Cotação 12 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 715 · 2026 · 2.ª fase

Texto do item 6

Os satélites espaciais permitem monitorizar as rotas de navios, contribuindo para a segurança marítima.

Dois navios de carga, A e B, ambos com $300 m$ de comprimento, deslocam-se em trajetórias perpendiculares. A Figura 2, que não se encontra à escala, esquematiza uma vista aérea das posições dos navios em dois instantes: num instante $t_{0}$ , a cinzento, e num instante posterior, $t_{1}$ , a preto, em que a proa¹ do navio A atinge o ponto X.

No instante $t_{0}$ , as proas dos navios A e B distam $1500 m$ , numa direção que faz $2 5^{\circ}$ com a direção do movimento do navio A, que se desloca com velocidade de módulo $10, 0 m s^{- 1}$ . A partir desse instante, para evitar a colisão, a velocidade do navio A é reduzida uniformemente, e a sua proa atinge a posição X $10, 0 s$ após o navio B ter passado, completamente, por essa posição.

O navio B manteve, durante todo o percurso, velocidade constante de módulo $5, 0 m s^{- 1}$ .

Nota:

1. Proa – parte dianteira do casco de um navio.

Esquema de uma vista aérea, sem escala, de dois navios em trajetórias perpendiculares. À esquerda, o navio **A** na posição do instante $t_0$, a cinzento claro, na horizontal, com a proa virada para a direita; por baixo, uma cota «300 m» com o comprimento do navio. Da proa de A sai, para a direita, uma seta vermelha $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ e, no seu seguimento, uma linha horizontal tracejada que vai até ao ponto **X**, marcado com um ponto azul. Da proa de A sai também um segmento cinzento inclinado, com a indicação «1500 m», que sobe até à proa do navio **B** na posição do instante $t_0$; o ângulo entre esse segmento e a linha horizontal da trajetória de A está marcado «25°». O navio B, a cinzento claro, está em cima, à direita, na vertical, com a proa virada para baixo e uma cota «300 m» com o seu comprimento; da proa de B sai, para baixo, uma seta vermelha $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ e uma linha vertical tracejada que desce até X. A preto, as posições no instante $t_1$: o navio A, na horizontal, com a proa no ponto X; o navio B, na vertical, já abaixo de X, depois de o ter passado completamente. — Figura 2

6.1.

Determine o módulo da velocidade do navio A no instante em que atinge a posição X.

Apresente todos os cálculos efetuados.

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

No instante $t_{0}$ , as proas dos dois navios e o ponto X formam um triângulo retângulo em X, de hipotenusa $1500 m$ :

d_{A} = 1500 cos 2 5^{\circ} = 1359, 5 m d_{B} = 1500 sin 2 5^{\circ} = 633, 9 m

Para o navio B passar completamente por X, a sua proa percorre $633, 9 + 300 = 933, 9 m$ , com velocidade constante:

Δ t_{B} = \frac{933 , 9}{5 , 0} = 187 s

A proa do navio A atinge X no instante $t = 187 + 10, 0 = 197 s$ (contado a partir de $t_{0}$ ). Com a origem na proa de A em $t_{0}$ e o sentido positivo o do seu movimento:

1359, 5 = 10, 0 \times 197 + \frac{1}{2} a \times 19 7^{2} ⟹ a = - 3, 15 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}

O módulo da aceleração do navio A é $3, 15 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}$ .

v = v_{0} + a t = 10, 0 - 3, 15 \times 1 0^{- 2} \times 197 = 3, 8 m s^{- 1}

O módulo da velocidade do navio A no instante em que atinge a posição X é $3, 8 m s^{- 1}$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O ponto de partida. Há dois navios com dois movimentos diferentes, e um acontecimento que os liga: o instante em que A chega a X é marcado pelo instante em que B acaba de passar por lá.

O navio B tem movimento retilíneo uniforme: trajetória retilínea e velocidade constante. A distância que percorre é proporcional ao tempo, $Δ x = v Δ t$ .
O navio A tem movimento retilíneo uniformemente variado — mais exatamente, retardado. «A velocidade é reduzida uniformemente» quer dizer que diminui a mesma quantidade em cada segundo: a aceleração é constante e tem sentido oposto ao da velocidade.

Para um movimento retilíneo com aceleração constante valem as duas equações do formulário:

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} v = v_{0} + a t

A segunda é a própria definição de aceleração constante: a velocidade varia $a$ em cada unidade de tempo. A primeira — a lei das posições — vem daí: com a velocidade a variar linearmente, o gráfico velocidade-tempo é uma reta, e o deslocamento é a área debaixo dela (um trapézio), $v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ . Só valem com a aceleração constante em todo o intervalo, e aqui é: o navio A trava uniformemente desde $t_{0}$ até chegar a X.

A estratégia sai daqui, e é exatamente a sequência das três etapas dos critérios: o movimento de B dá-te o tempo; com o tempo e a distância, a lei das posições de A dá-te a aceleração; com a aceleração, a lei das velocidades dá-te a velocidade em X.

decompor os $1500 m$

O segmento de $1500 m$ liga as duas proas no instante $t_{0}$ . As trajetórias são perpendiculares e cruzam-se em X: a proa de A, a proa de B e o ponto X são os vértices de um triângulo retângulo, com o ângulo reto em X e os $1500 m$ como hipotenusa. O ângulo de $2 5^{\circ}$ está na proa de A, entre a hipotenusa e a trajetória de A.

a distância da proa de A até X é o cateto adjacente ao ângulo de $2 5^{\circ}$ : $d_{A} = 1500 cos 2 5^{\circ} = 1359, 5 m$ ;
a distância da proa de B até X é o cateto oposto: $d_{B} = 1500 sin 2 5^{\circ} = 633, 9 m$ .

A figura não está à escala, por isso não tires distâncias dela a régua: tiras-lhe só a geometria — onde está o ângulo e onde está o ângulo reto.

1.º — o tempo que o navio B demora a passar completamente por X

A expressão decisiva é «ter passado, completamente, por essa posição». A proa de B chegar a X não chega: o navio inteiro tem de passar, ou seja, também a popa (a parte de trás) tem de atravessar X. A popa vai $300 m$ atrás da proa, por isso a proa tem de percorrer a distância até X mais o comprimento do navio:

Δ x_{B} = d_{B} + 300 = 633, 9 + 300 = 933, 9 m

O navio B anda sempre com velocidade de módulo $5, 0 m s^{- 1}$ , por isso:

Δ t_{B} = \frac{Δ x _{B}}{v _{B}} = \frac{933 , 9}{5 , 0} = 186, 8 s \approx 187 s

É a primeira etapa dos critérios ( $4$ pontos). Repara que os $300 m$ do navio A não entram aqui: o que interessa para A é a sua proa, e é a proa que «atinge a posição X».

2.º — a aceleração do navio A

A proa de A chega a X $10, 0 s$ depois de B ter acabado de passar. Contando o tempo a partir de $t_{0}$ :

t = 187 + 10, 0 = 197 s

Escolhe o referencial antes de pôr números — é ele que decide os sinais. Eixo $O x$ ao longo da trajetória de A, origem na posição da proa de A no instante $t_{0}$ e sentido positivo o do movimento de A. Então $x_{0} = 0$ , $v_{0} = + 10, 0 m s^{- 1}$ e, no instante $t = 197 s$ , $x = 1359, 5 m$ . A lei das posições tem uma só incógnita, a aceleração:

1359, 5 = 0 + 10, 0 \times 197 + \frac{1}{2} a \times 19 7^{2}

\frac{1}{2} a \times 38809 = 1359, 5 - 1970 = - 610, 5

a = \frac{2 \times ( - 610 , 5 )}{38 809} = - 3, 15 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}

O sinal negativo é o que esperavas: a aceleração tem sentido oposto ao da velocidade, e o navio está a travar. Se não travasse, em $197 s$ a $10, 0 m s^{- 1}$ teria andado $1970 m$ — mais $610 m$ do que a distância até X. O enunciado pede o módulo: $3, 15 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}$ . É a segunda etapa ( $4$ pontos).

3.º — a velocidade do navio A em X

Com a aceleração, a lei das velocidades dá-te a velocidade no instante $t = 197 s$ :

v = v_{0} + a t = 10, 0 + (- 3, 15 \times 1 0^{- 2}) \times 197 = 10, 0 - 6, 2 = 3, 8 m s^{- 1}

O valor é positivo: o navio A ainda se move no sentido inicial, mais devagar — travou de $10, 0$ para $3, 8 m s^{- 1}$ sem chegar a parar.

O módulo da velocidade do navio A no instante em que atinge a posição X é $3, 8 m s^{- 1}$ .

pela velocidade média

Num movimento com aceleração constante, a velocidade média é a média aritmética das velocidades inicial e final, $v_{m} = \frac{v _{0} + v}{2}$ (é a altura média do trapézio do gráfico velocidade-tempo). Como $v_{m} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{1359 , 5}{197} = 6, 90 m s^{- 1}$ :

v = 2 \times 6, 90 - 10, 0 = 3, 8 m s^{- 1}

É mais curto, e os critérios aceitam qualquer processo cientificamente correto (adaptam as etapas ao processo). Mas a etapa do meio dos critérios é a aceleração: quem segue o caminho das equações do movimento deixa-a escrita e não arrisca nada. Usa este caminho para conferir.

os arredondamentos e o bom senso

Se não arredondares o tempo ( $186, 8 s$ , logo $t = 196, 8 s$ ), obténs $a = - 3, 14 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}$ e $v = 3, 82 m s^{- 1}$ — o mesmo $3, 8 m s^{- 1}$ no fim. Os critérios usam o tempo arredondado a $187 s$ , e daí o $3, 15 \times 1 0^{- 2}$ ; um resultado intermédio com outro arredondamento não é penalizado por si só (situação 14 dos critérios gerais). Guarda mais algarismos nos intermédios do que no resultado final.

E o bom senso: a velocidade final tem de estar entre $0$ e $10, 0 m s^{- 1}$ (o navio trava, não inverte), e a média $\frac{10 , 0 + 3 , 8}{2} = 6, 9 m s^{- 1}$ tem de bater com $\frac{1359 , 5 m}{197 s}$ . Bate.

onde se perdem pontos

Item obrigatório, classificado por etapas: $4 + 4 + 4$ pontos. Aos pontos das etapas feitas descontam-se os erros: $1$ ponto se só houver erros de tipo 1 (de cálculo numérico, de transcrição, arredondamentos de valores fornecidos, conversões de unidades mal feitas); $2$ pontos por um erro de tipo 2 (erro de cálculo analítico, ausência de conversão de unidades, ausência de unidade ou unidade errada no resultado pedido); $4$ pontos por mais do que um erro de tipo 2. E uma etapa não percorrida vale zero — ela e as que dela dependem.

Esquecer o comprimento do navio B. Com o tempo só até a proa de B chegar a X ( $126, 8 s$ ), a aceleração sai $- 9, 0 \times 1 0^{- 4} m s^{- 2}$ e a velocidade final $9, 9 m s^{- 1}$ — o navio quase não travava. A primeira etapa fica com o valor errado, e as seguintes também.
Esquecer os $10, 0 s$ . O navio A chega a X depois de B ter passado: com $t = 187 s$ a aceleração sai $- 2, 92 \times 1 0^{- 2} m s^{- 2}$ e a velocidade final $4, 5 m s^{- 1}$ .
Trocar o seno e o cosseno. A distância de A até X é o cateto adjacente ao ângulo de $2 5^{\circ}$ . Com os catetos trocados, a velocidade final sai negativa ( $- 6, 3 m s^{- 1}$ ): o navio teria invertido o sentido, o que contradiz o enunciado. Valores que careçam de significado físico anulam as etapas em que aparecem.
Tratar o navio A como se tivesse velocidade constante. $\frac{1359 , 5}{197} = 6, 90 m s^{- 1}$ é a velocidade média, não a velocidade em X.
Trocar o sinal da aceleração e escrever $+ \frac{1}{2} a t^{2}$ com $a$ positiva a «travar»: o erro aparece na velocidade final, que sai maior do que $10, 0 m s^{- 1}$ . Define o sentido positivo e deixa o sinal sair da conta.
Apresentar só o resultado. « $3, 8 m s^{- 1}$ » sozinho vale zero: o enunciado pede todos os cálculos.
Esquecer a unidade no resultado final. É um erro de tipo 2: menos $2$ pontos.

para reconhecer o próximo item deste tipo

Dois móveis e um «ao mesmo tempo» (ou « $10 s$ depois»): o tempo é o que os liga. Tira o tempo do móvel de que sabes tudo (aqui, B, com velocidade constante), transporta-o para o outro e usa as equações do movimento uniformemente variado: a das posições para a aceleração, a das velocidades para a velocidade final. E lê com atenção as palavras que mudam a distância: «passar completamente» soma o comprimento do objeto.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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